构造全等三角形解题的常用方法专项训练 课件 2023-2024学年人教版数学八年级上册

构造全等三角形解题的常用方法 专项训练 八年级数学(上)专项训练 例 如图,已知AB∥CD,CE,BE分别平分∠BCD和∠CBA,点E在AD上. 求证:BC=AB+CD. 2 解题秘方:证明线段的和差问题,常采用截长补短法,把两条较短线段中的一条补到另一条线段上,或把较长的线段截成两条线段,构造全等三角形来解决,而用基础三角形( ABE)法是作全等三角形最基本的方法之一. 方法 1 翻折法 1.如图,在 ABC中,BE是∠ABC的平分线,AD⊥BE,垂足为D.求证:∠2=∠1+∠C. 证明:如图,延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折,与BC边重合,A点落在F点处,折痕为BE) ∵BE平分∠ABC, ∴∠ABE=∠CBE. 2.如图,在Rt ABC中,∠ACB=90 ,AC=BC,点D为BC的中点,CF⊥AD于点E,交AB于点F,连接DF.求证:∠ADC=∠BDF. 方法 2 补形法 证明:如图,过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G,则∠CBG=90 . ∵∠ACB=90 , ∴∠2+∠ACF=90 . ∵CE⊥AD,∴∠AEC=90 . ∴∠1+∠ACF=180 -∠AEC=180 -90 =90 . ∴∠1=∠2. 【点方法】 本题运用了补形法,通过作辅助线将 CBF补成 CBG是解题的关键. 3.【2023 杭州】如图,在正方形ABCD中,E为BC边上一点,F为CD边上一点,BE+DF=EF.求∠EAF的度数. 方法 3 旋转法 【点技巧】 图中所作辅助线,相当于将 ADF绕点A顺时针旋转90 ,使AD边与AB边重合,得到 ABH. 4.如图,在 ABC中,D为BC的中点. 方法 4 倍长中线法 (1)求证:AB+AC>2AD; 证明:如图,延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.∵D为BC的中点,∴CD=BD. 又∵AD=ED,∠ADC=∠EDB, ∴ ADC≌ EDB(SAS). ∴AC=EB. ∵AB+BE>AE, ∴AB+AC>2AD. (2)若AB=6,AC=2,求AD的取值范围. 解:∵AB-BE<AE<AB+BE, ∴AB-AC<2AD<AB+AC. ∵AB=6,AC=2, ∴4<2AD<8,即2<AD<4. 【点方法】 本题运用倍长中线法构造全等三角形,将证明不等关系和求线段取值范围的问题通过证全等,转化到一个三角形中,利用三角形的三边关系来解决. 5.在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中,全等三角形专题复习课,学习过七种作辅助线的方法,其中有“截长初短”作辅助线的方法. 截长法:在较长的线段上截取一条线段等于较短线段; 补短法:延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法. 方法 5 截长(补短)法 请分别用这两种方法解决下列问题: 已知:如图,在 ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任一点,求证:AB-AC>PB-PC. 证明:截长法:如图①, 在AB上截取AN=AC,连接PN. 在 APN和 APC中,AN=AC, ∠1=∠2,AP=AP, ∴ APN≌ APC,∴PC=PN. 在 BPN中,PB-PN<BN,即PB-PC<AB-AC. 补短法:如图②,延长AC至M, 使AM=AB,连接PM. 在 ABP和 AMP中,AB=AM, ∠1=∠2,AP=AP, ∴ ABP≌ AMP,∴PB=PM. 在 PCM中,CM>PM-PC,即AB-AC>PB-PC. 6.如图,∠AOB=90 ,OM平分∠AOB,直角三角尺的顶点P在射线OM上移动,两直角边分别与OA,OB相交于点C,D,问PC与PD 相等吗?试说明理由. 方法 6 作垂线法 解:PC=PD.理由如下: 如图,过点P分别作PE⊥OA, PF⊥OB,垂足分别为点E,F. ∵OM平分∠AOB,∴PE=PF. 又∵∠AOB=90 ,∠PEO=∠PFO=90 , ∴∠EPF=90 ,即∠EPC+∠CPF=90 . 7.如图, ABC中,∠BAC=60 ,∠C=40 ,AP平分∠BAC交BC于点P,BQ平分∠ABC交AC于点Q.求证:AB+BP=BQ+AQ. 方法 7 作平行线法 ∵∠ADP=∠CPD+∠C=40 +40 =80 , ∠ABC=80 , ∴∠ABC=∠ADP. ∵AP平分∠BAC,∴∠BAP=∠CAP. 证明:如图,在BC上取一点F,使BF=BA,连接EF. ∵CE,BE分别平分∠BCD和∠CBA, ∴∠3=∠4,∠1=∠2. 在 ABE和 FBE中, ∴ ABE≌ FBE(SAS).∴∠A=∠5. ∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180 . 又∵∠5+∠6=180 ,∴∠6=∠D. 在 EFC和 EDC中, ∴ EFC≌ EDC(AAS). ∴FC=DC.∴BC=BF+CF=AB+CD. ∵BD⊥AD,∴∠AD