第十一章 三角形---三角形的高、中线、角平分线的八种常见应用专项训练 课件 2023-2024学年人教版八年级数学上册

三角形的高、中线、角平分线的八种常见应用 专项训练 八年级数学（上）专项训练 例 如图，已知AB⊥BD于点B，AC⊥CD于点C，AC与BD交于点E，则△ADE的边DE上的高为________，边AE上的高为________． AB DC 2 解题方法：三角形的高、中线和角平分线是三角形中三种重要线段，它们的定义为我们提供了重要的线段或角的关系．本例中准确掌握三角形高的定义中满足的条件即可求得此题答案． 应用 1 三角形的高在求线段长中的应用 1．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3.试作出BC边上的高AE，并求AE的长． 2．【2023·苏州】在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为___________． 应用 2 三角形的高在求角的度数中的应用 60°或10° 【点拨】 分两种情况： (1)如图①，当∠ADC＝90°时， ∵∠B＝30°，∴∠BCD＝90°－30°＝60°. (2)如图②，当∠ACD＝90°时， ∵∠A＝50°，∠B＝30°， ∴∠ACB＝180°－30°－50°＝100°. ∴∠BCD＝100°－90°＝10°. 综上，∠BCD的度数为60°或10°. 3．如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，若BC边上的高AD＝4，求： 应用 3 三角形的高在求相关线段的比值中的应用 (1)△ABC的面积及AC边上的高BE的长； (2)AD∶BE的值． 4．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝1，则 PE＋PF＝________. 应用 4 三角形的高在求相关线段和的问题中的应用 1 【点拨】 解本题的关键是作辅助线将等腰三角形分割成两个三角形，然后利用面积法进行计算． • • • 5．如图，已知BE＝CE，ED为△EBC的中线，BD＝8，△AEC的周长为24，则△ABC的周长为(　　) A．40 B．46 C．50 D．56 应用 5 三角形的中线在求线段长中的应用 【点拨】 【答案】A ∵△AEC的周长为24，BE＝CE， ∴AE＋BE＋AC＝24.∴AB＋AC＝24. ∵BD＝CD＝8，∴BC＝BD＋CD＝16. ∴△ABC的周长为40. 6．如图，△ABC的周长是21 cm，AB＝AC，中线BD分△ABC为两个三角形，且△ABD的周长比△BCD的周长长6 cm.求AB，BC的长． 7．如图，△ABC中，D，E分别为BC，AD的中点，且S△ABC＝40，CM⊥AD于M. (1)S△ABD＝________； 应用 6 三角形的中线与高在证明线段相等中的应用 20 (2)若AE＝5，求CM的长； (3)若BN⊥AD交AD的延长线于N，求证：CM＝BN. 8．如图，AD是∠CAB的平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O. 应用 7 三角形的角平分线在解与平行线相关问题中的应用 (1)DO是∠EDF的平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． 解：DO是∠EDF的平分线． 证明：∵AD是∠CAB的平分线， ∴∠EAD＝∠FAD. ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴∠EDA＝∠FAD，∠FDA＝∠EAD. ∴∠EDA＝∠FDA.∴DO是∠EDF的平分线． (2)若将“DO是∠EDF的平分线”与“AD是∠CAB的平分线”“DE∥AB”“DF∥AC”三个条件中的任一条件交换，所得结论正确吗？若正确，请选择一个证明． 解：与三个条件中的任一条件交换，所得结论都正确．(选其中一种情况证明即可) ①若和“AD是∠CAB的平分线”交换，证明过程与(1)中证明过程类似． ②若和“DE∥AB”交换． 证明：∵DF∥AC，∴∠FDA＝∠EAD. ∵AD是∠CAB的平分线，∴∠EAD＝∠FAD. ∴∠FAD＝∠FDA. ∵DO是∠EDF的平分线，∴∠EDA＝∠FDA. ∴∠EDA＝∠FAD.∴DE∥AB. ③若和“DF∥AC”交换，证明过程与②类似． 9．如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B＝50°，∠C＝70°. 应用 8 三角形的角平分线与高在求角的度数中的应用 (1)求∠ADB的度数； 解：∵∠B＝50°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝60°. 又∵AD是角平分线，∴∠BAD＝30°. ∴∠ADB＝180°－∠BAD－∠B＝100°. (2)若DE⊥AC于点E，求∠EDC的度数． 解：∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°. ∴∠EDC＝180°－∠DEC－∠C＝ 180°－90°－70°＝20°. 解：如图，过点A作BC边上的高AE， 交CB的延长线于点E. ∵BC·AE＝