6.4.1-6.4.2平面向量在几何、物理中的应用（导学教材+考点精析+反馈测试）-《寒假自修》2023-2024学年下学期高一数学《导学·突破·强化》导学案2019人教A版第二册

6．4 平面向量的应用 6．4.1 平面几何中的向量方法 6．4.2 向量在物理中的应用举例 1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题． 2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用. 重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”； 难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题. 知识点一　平面几何中的向量方法 1．用向量解决常见平面几何问题的技巧 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 向量共线定理 a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， b≠0 垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos θ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量 长度问题 数量积的定义 |a|＝＝，其中a＝(x，y)，a为非零向量 2.用向量方法解决平面几何问题的步骤 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将 转化为向量问题； (2)通过 ，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性．因此，用向量解决平面几何问题，就是将几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作． 知识点二　向量在物理中的应用 1．由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成和向量的加法与减法相似，因此可以用向量知识来解决． 2．物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的 ，即W＝F·s＝|F|·|s|·cos θ(θ为F与s的夹角). 向量本身是由物理学中的概念抽象出来的，平面向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决物理问题，要注意两个方面：一方面是通过实例，体会如何把物理问题转化为数学问题；另一方面是如何利用数学模型的解来解释相应的物理现象． 考点一 平面几何中的平行与垂直问题 例1（1） 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点． 求证：AF⊥DE(利用向量证明). （2）设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点 （1）试用向量证明：PQAB； （2）若AB=3CD，求PQ：AB的值. 【对点演练1】（2023下·宁夏银川·高一校考期中）在中，分别为边上的点，且.设.    (1)用表示； (2)用向量的方法证明：. 【对点演练2】（2024·全国·高一随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 【对点演练3】　如图,已知P是正方形ABCD对角线BD上一点,且四边形PF CE为矩形.求证:PA=EF 且PA⊥EF 。 考点二 平面几何中的长度问题 例2 如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 【对点演练1】（2023下·广东东莞·高一东莞市厚街中学校考阶段练习）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 考点三 三角形形状的判断 例3 （2023下·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考期中）已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【对点演练1】（2024·高一课前预习）在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【对点演练2】（2022下·宁夏银川·高一银川一中校考期中）在四边形中，若，则四边形为（    ） A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 考点四 三角形“四心”的向量形式 例4 （2023下·河北邢台·高一沙河市第二中学校联考阶段练习）在中，角所对的边分别为，点分别为所在平面内一点，且有，，，，则点分别为的（    ） A．垂心，重心，外心，内心 B．垂心，重心，内心，外心 C．外心，重心，垂心，内心 D．外心，垂心，重心，内心 【对点演练1】（2023下·安徽马鞍山·高一校联考阶段练习）在中，，动点M满足，则直线AM一定经过的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【对点演练2】已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（