专题06离散型随机变量的数字特征（2个知识点1个拓展1个突破6种题型2个易错点）-2023-2024学年高二数学倍速学习法核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选择性必修第三册）

专题06离散型随机变量的数字特征（2个知识点1个拓展1个突破6种题型2个易错点） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.离散型随机变量的均值 知识点2.离散型随机变量的方差 拓展：离散型随机变量均值与方差的定义与性质 突破：均值与方差在决策中的应用 【方法二】 实例探索法 题型1.求离散型随机变量的均值（数学期望） 题型2.离散型随机变量均值的性质 题型3.离散型随机变量均值的应用 题型4离散型随机变量的方差 题型5.离散型随机变量方差的性质 题型6.离散型随机变量的方差的应用 【方法三】差异对比法 易错点1.求随机变量的均值时因分布列不准确致误 易错点2.错用公式致误 【方法四】成果评定法 【知识导图】 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.离散型随机变量的均值 一　离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝为随机变量X的均值或数学期望． 2．离散型随机变量的均值的意义 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 3．离散型随机变量的均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为 Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 思考　离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系如何？ 答案　(1)区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化． (2)联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值． 二、　两点分布的均值 如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p. 例1．（2023上·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 则 ； . 知识点2.离散型随机变量的方差 离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X的分布列如表所示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 我们用X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度．我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差(variance)，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差(standard deviation)，记为σ(X)． 二、　离散型随机变量方差的性质 1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)． 2．D(c)＝0(其中c为常数)． 例2.（2024上·辽宁辽阳·高二统考期末）小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率为，记小明射击2次的得分为X，则（    ） A． B． C． D． 拓展：离散型随机变量均值与方差的定义与性质 3．（2024·全国·高三专题练习）已知X的分布列为 X 0 1 P 则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 突破：均值与方差在决策中的应用 4．（2021上·重庆黔江·高三重庆市黔江中学校校考阶段练习）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为45元，其余3个均为15元，求顾客所获的奖励额为60元的概率； (2)商场对奖励总额的预算是30000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符