1.5 三角函数的应用 　课件　　2023—2024学年北师大版数学九年级下册

5 三角函数的应用 第一章 直角三角形的边角关系 逐点 学练 本节小结 作业提升 学习目标 本节要点 1 学习流程 2 利用特殊角解直角三角形解决实际问题 知识点 感悟新知 1 利用特殊角解直角三角形解决实际问题 1. 常见的特殊角 特别提醒 1.解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解. 2. 实际问题中遇到仰角或俯角时，要放在直角三角形中或转化到直角三角形中，注意确定水平线. 3.物体的倾斜程度通常可用物体的坡度表示，坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之，坡度越小，坡角越小，坡面越缓. 感悟新知 (1)方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的角，一般以“北偏…”“南偏…”的形式出现； (2)仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可简记为“上仰下俯”. (3)坡角是坡面与水平面的夹角，坡度是坡角的正切值，坡角越大，坡度也就越大. 感悟新知 2. 利用特殊角解直角三角形解决问题的步骤 (1)审题，弄清特殊角的类 型，将实际问题抽象为数学 问题； (2)认真分析题意，画出平面图形，转化为解直角三角形问题； (3)结合特殊角，选用适当的锐角三角函数解直角三角形； (4)按照题目中的要求取值. 感悟新知 为了维护海洋权益，我国加大了在某海域的巡逻力度.一天，两艘海警船刚好在某岛东西海岸线上的A，B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C 处海域. 如图1-5-1，AB=60( + )海里，在B 处测得C 在北偏东45°的方向上，在A 处测得C 在北偏西30°的方向上，在海岸线AB 上有一灯塔D，测得AD=120( － )海里. 例 1 6 感悟新知 解题秘方：建立数学模型后，用“化斜为直法”将斜三角形问题转化为解直角三角形问题求解. 7 感悟新知 (1)分别求出A 与C 及B 与C 的距离AC，BC(结果保留根号). 解：如图1-5-1，过点C 作CE ⊥ AB 于点E，可得 ∠ ACE=30°，∠ BCE=45°. 8 感悟新知 设AE=x 海里， 则在Rt △ ACE 中，CE= x 海里， AC=2x 海里， 在Rt △ BCE 中，BE=CE= x 海里，BC= x 海里. ∵ AB=AE+BE，∴ x+ x=60( + )， 解得x=60 ，∴ AC=120 海里，BC=120 海里. 9 感悟新知 (2)已知在灯塔D 周围100 海里范围内有暗礁群，在A 处的海警船沿AC 前往C 处盘查，途中有无触礁的危险(参考数据： ≈ 1.41， ≈ 1.73， ≈ 2.45)？ 10 感悟新知 解：如图1-5-1，过点D 作DF ⊥ AC 于 点F，由题可知 ∠ DAF=60°. 在Rt △ AFD 中，DF=AD·sin 60°= AD， ∴ DF= ×120( － )= 60(3 － )≈106.8(海里) >100 海里，∴途中无触礁的危险. 11 感悟新知 1-1.[中考· 安徽] 如图， 为了测量河对岸A，B 两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B 均在C 的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90 m 至观测点D， 测得A 在D 的正北方向，B 在D 的北偏西53°方向上．求A，B 两点 间的距离.(参考数据：sin 37°≈ 0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75) 12 感悟新知 13 感悟新知 14 感悟新知 如图1-5-2，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD 的高度，先在教学楼的底端A 处，观测到旗杆顶端C 的仰角∠ CAD=60°，然后爬到教学楼上的B 处，观测到旗杆底端D 的俯角是30°，已知教学楼AB 高4 m. 例2 15 感悟新知 解题秘方：将实际问题转化为解直角三角形问题求解. 16 感悟新知 (1)求教学楼与旗杆的水平距离AD(结果保留根号)； 解：∵在教学楼B 处观测旗杆底端D 的俯角是30°，∴∠ ADB=30°. 在Rt △ ABD 中，∵∠ BAD=90°，∠ ADB=30°，AB=4 m， 即教学楼与旗杆的水平距离AD 是4 m. 17 感悟新知 (2)求旗杆CD 的高度. 解：在Rt △ ACD 中， ∵∠ ADC=90°，∠ CAD=60°， AD=4 m， ∴ CD=AD·tan 60°=4 × =12(m). 即旗杆CD 的高度是12 m. 18 感悟新知 2-1. [中考·宿迁] 如图