2024年广东省中考数学二轮轮知识点梳理复习 课件专题3　最值问题

第三部分　广东中考专题训练 选填解答提分练 专题三　最值问题 一、将军饮马类求最值 1．如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处． (1)直接写出点E，F的坐标； 解：E(3，1)，F(1，2)； 第 页 专题三　最值问题 返回首页 (2)设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E，F，P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式； 解：在Rt△EBF中，∠EBF＝90°， ∵顶点F(1，2)，∴设抛物线解析式为y＝a(x－1)2＋2(a≠0)， ①如答图1，当EF＝PF时，EF2＝PF2，∴12＋(n－2)2＝5.解得n1＝0(舍去)，n2＝4， ∴P(0，4)，∴4＝a(0－1)2＋2，解得a＝2， ∴抛物线的解析式为y＝2(x－1)2＋2， 第 页 专题三　最值问题 返回首页 ②如答图2，当EP＝FP时，EP2＝FP2， ∴(2－n)2＋1＝(1－n)2＋9，解得n＝－ (舍去)， ③当EF＝EP时，EP＝ <3，这种情况不存在． 综上所述，符合条件的抛物线解析式是y＝2(x－1)2＋2； 第 页 专题三　最值问题 返回首页 (3)在x轴，y轴上是否分别存在点M，N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由． 解：存在点M，N，使得四边形MNFE的周长最小，如答图3，作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′；连接E′F′，分别与x轴，y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点， 第 页 专题三　最值问题 返回首页 二、函数类求最值 2．(2023·香洲区一模)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，3)，其顶点D的坐标为(－1，4)． (1)求抛物线的解析式． 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为(－1，4)，∴抛物线的解析式为y＝a(x＋1)2＋4， ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点C(0，3)，∴a×12＋4＝3，∴a＝－1， ∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2＋4＝－x2－2x＋3； 第 页 专题三　最值问题 返回首页 (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得|PA－PC|的值最大，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：如答图1，在抛物线的对称轴上存在一点P，使得|PA－PC|的值最大，理由： 令y＝0，则－x2－2x＋3＝0，解得x＝1或－3.∵点A在点B的左侧，∴A(－3，0)，B(1，0)， ∴OA＝3，OB＝1，∵C(0，3)，∴OC＝3， ∵点P在抛物线的对称轴上，∴PA＝PB，∴|PA－PC|＝|PB－PC|， ∵|PB－PC|≤BC，∴当P，B，C三点在一条直线上时，|PA－PC|的值最大为BC的长， 第 页 专题三　最值问题 返回首页 ∴直线BC的解析式为y＝－3x＋3. ∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，∴当x＝－1时，y＝－3×(－1)＋3＝6，∴P(－1，6)， ∴在抛物线的对称轴上存在一点P，使得|PA－PC|的值最大，此时点P的坐标为(－1，6)； 第 页 专题三　最值问题 返回首页 (3)作直线BC，M为BC上一点，连接AM，当△BOC∽△BMA时，求点M的坐标． 第 页 专题三　最值问题 返回首页 三、构造辅助圆求最值 3．如图，等边△ABC中，AB＝3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，当点D从点B运动到点C 时，则点F的运动路径的长度为____. 第 页 专题三　最值问题 返回首页 4．(2020·泉州二模)如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴分别交于点A，点B(点B在点A的右侧)，与y轴交于点C，连接BC，点 在抛物线上． (1)求c的值； 第 页 专题三　最值问题 返回首页 (2)已知点D与点C关于原点O对称，作射线BD交抛物线于点E，若BD＝DE， ①求抛物线所对应的函数表达式； ②过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，以 的长为半径作⊙C，点T为⊙C上的一个动点，求 TB＋TF的最小值． 解：①如答图1，由题意得，C(0，－3)，∵点D与点C关于原点O对称，∴D(0，3)， ∵BD＝DE，∴点D为BE的中点，设点B(m，0)，则点E(－m，6)， 将点B(m，0)，点E(－m，6)代入抛物线y＝ax2－2ax＋c，得 第 页 专题三　最值问题 返回首页 第 页 专题三　最值问题 返回首页