复习04 椭圆与双曲线（十二大考点）-2024年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

复习04椭圆与双曲线 一、椭圆的定义 平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作. 定义式：. 要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. 二、椭圆的标准方程 焦点在轴上，；焦点在轴上，. 说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：. 三、椭圆的图形及其简单几何性质 标准方程 图形 焦点位置 几何性质 范围 顶点 焦点 对称性 离心率 在轴上 ， 对称轴：轴，轴，对称中心： 原点 ， 在轴上 ， 注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程. 必记结论： 1．设椭圆上任意一点，则当时，有最小值b，P点在短轴端点处；当时，有最大值a，P点在长轴端点处． 2．已知过焦点F1的弦AB，则的周长为 四、双曲线的定义和标准方程 1．双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于且大于零)的点的轨迹叫做双曲线． 这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距． （2）符号语言：. （3）当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支； 当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支； 当时，轨迹为分别以为端点的两条射线； 当时，动点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程有两种形式： （1）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为焦距为，且，如图1所示； （2）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为焦距为，且，如图2所示． 图1 图2 注：双曲线方程中的大小关系是不确定的，但必有． 3．必记结论 （1）焦点到渐近线的距离为. （2）与双曲线(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为． （3）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为或． （4）与双曲线(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线方程可设为 ． （5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为． （6）与椭圆有共同焦点的双曲线方程可设为． 五、双曲线的几何性质 1．双曲线的几何性质 标准方程 图形 范围 ， ， 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点 焦点 左焦点，右焦点 下焦点，上焦点 顶点 轴 线段是双曲线的实轴，线段是双曲线的虚轴； 实轴长，虚轴长 渐近线 离心率 2．等轴双曲线的概念和性质 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质： （1）方程形式为； （2）渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； （3）实轴长和虚轴长都等于，离心率． 考点01椭圆及双曲线的定义 【方法点拨】椭圆的定义：平面内动点到两定点的距离的和为常数，即， 当时，动点的轨迹是椭圆；当时，动点的轨迹是一条线段；当时，动点的轨迹不存在. 双曲线定义中，距离的差要加绝对值，否则只有双曲线的一支，若分别表示双曲线的左、右焦点，则有以下两种情形：①若点满足，则点在左支上； ②若点满足，则点在右支上. 【例1】已知，下列命题正确的是（    ） A．若到距离之和为，则点的轨迹为椭圆 B．若到距离之差为，则点的轨迹为双曲线 C．椭圆上任意一点（长轴端点除外）与连线斜率之积是 D．渐近线为且过点的双曲线的焦点是 【例2】已知，是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（多选）已知、，下列说法中正确的是（    ） A．平面内到、两点的距离相等的点的轨迹是直线 B．平面内到、两点的距离之差等于的点的轨迹是双曲线的一支 C．平面内到、两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆 D．平面内到、两点距离的平方和为的点的轨迹是圆 【变式1-2】设满足：，则的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．不存在 【变式1-3】（多选）设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（    ） A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线 考点02求椭圆、双曲线的方程 【方法点拨】用待定系数法求椭圆方程：根据焦点位置设方程为或，若焦点位置不确定，则可设椭圆的方程为，， 用待定系数法求椭圆方程：根据焦点位置,设方程为或,焦点不定时,亦可设为； 【例3】已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为2，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【例4】求满足下列条件的