第八章 常用统计分布（课件）- 《社会统计学》同步教学（高等教育出版社）

第八章 常用统计分布 2024/1/20 2 第一节 超几何分布 适用：小群体的两分变量。假定总体为 K个成功类、（N-K）个为失败类 1.超几何分布为离散型随机变量的概率 分布，它的数学形式是 2024/1/20 3 2.超几何分布的数学期望值和方差 如果用 ，则有 2024/1/20 4 [例] 以随机方式自5男3女的小群体中选出5人组成一个委员会，求该委员会中女性委员人数的概率分布、期望值与变异数。 [解] 由题意可知：N＝8．K＝3，N―K＝5．n＝5，代入(8．1)式，故概率分布如下： 由 ， ，代入(8．4)式、(8．5)式得 （1） （2） X 0 1 2 3 合计 P=(X=x) 1/56 15/56 30/56 10/56 56/56 2024/1/20 5 3.关于超几何分布的近似 设某校有l000名大学生，其中有外国留学生10、名，现从该校学生中任抽2人，求抽到外国留学生的概率分布。 [解] 抽到外国留学生人数X服从N＝1000、K＝10、n＝2的超几何分布，根据(8．1)式得 2024/1/20 6 由于 ＝0．002＜0．1，用二项分布近似 计算有 ，由(8．6)式得 两种方法计算结果比较一下，仅在小数点后第5位上才出现误差。当然在＞0．1时，如此计算误差会比较大。另外，二项分布的计算量仍不算小，有时还可以将二项分布近似为泊松分布，这一点我们将在下一节讨论。 2024/1/20 7 第二节泊松分布 适用：稀有事件的研究。一个事件的平均发生次数 是大量实验的结果，在这些试验中，此事件可能发生，但 是发生的概率非常小。 泊松分布亦为离散型随机变量的概率分布，随机变量 X为样本内成功事件的次数。若λ为成功次数的期望值， 假定它为已知。而且在某一时空中成功的次数很少，超过 5次的成功概率可忽不计，那么X的某一具体取值x（即稀 有事件出现的次数）的概率分布为 2024/1/20 8 泊松分布的性质：x的取值为零和一切正整数；图 形是非对称的，但随着的λ增加，图形变得对称；泊松 分布的数学期望和方差均为λ。 2024/1/20 9 [例] 某城市50天交通事故的频数分布如 表所示，试求泊松 理论分布。 X 0 1 2 3 4 合计 P 0.4493 0.3595 0.1438 0.0383 0.0091 1.0000 理论频（50хPi ) 22.4 18.0 7.2 1.9 0.5 50.0 一天交通事故数 0 1 2 3 合计 天数f 23 17 7 3 50 [解] 由资料知 查泊松分布表，得理论分布 将实测频数与理论频数比较，可知题中所述稀有事件是 满足泊松分布的。 ≥ 2024/1/20 10 第三节 卡方分布 卡方分布是一种连续型随机变量的概率分布，主要用于列联表 检验。 1.数学形式 设随机变量X1，X2，…Xk，相互独立，且都服从同一的正态 分布N (μ，σ2)。那么，我们可以先把它们变为标准正态变量 Z1，Z2，…Zk，k个独立标准正态变量的平方和被定义为卡方分布 （ 分布）的随机变量 （ 读作卡方），且 我们把随机变量 的概率分布称为 分布，其概率密度记 作 。其中k为卡方分布的自由度，它表示定义式中独立变量的个数。 2024/1/20 11 注意 写法的含义：它 表示自由度为k的卡方分布，当 其分布函数 时，其随机变量 的临界值(参见图)。具体来说，在假设检验中，它表示在显著性水平α上卡方分布随机变量 的临界值。 关于卡方分布的分布函数，附表7对不