专题15 排列9种常见考法归类-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（苏教版2019）

专题15 排列9种常见考法归类 思维导图 核心考点聚焦 考点一、排列的概念及判断 考点二、排列的列举问题 考点三、排列数公式的应用 考点四、元素(位置)有限的排列 考点五、相邻问题的排列 考点六、不相邻问题的排列 考点七、相邻与不相邻的综合问题 考点八、定序问题的处理 考点九、间接法 1．排列的定义 排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 (1)一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列． (2)特别地，m＝n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列． 注；两个排列相同则应具备排列的对象及排列的顺序均相同． (3)对排列概念的两个关注点： ①顺序性：每一个排列不仅与选取的元素有关，而且还与元素的排列顺序有关，选取的元素不同或虽元素相同但元素的排列顺序不同时叫做不同的排列，只有当两个排列的元素完全相同且元素的顺序完全一样时才是相同的排列。 ②选排列与全排列：在定义中规定，如果，一般称为选排列；如果，则称为全排列。 2．排列数及排列数公式 排列数的定义 从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数 排列数的表示 A(n，m∈N，m≤n) 排列 数公式 乘积式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 阶乘式 A＝ 阶乘 A＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝n！ 规定 0！＝1，A＝1 性质 A＋mA＝A 拓展：排列与排列数的区别 “排列”与“排列数”是两个不同的概念，“排列”是指“从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，它不是数，而是具体的一件事；而“排列数”是上述完成这件事所有不同的排列个数，它是一个数． 1、判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题． 2、在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式.在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列. 3、求解排列应用问题的6种主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反、等价转化的方法 考点剖析 考点一、排列的概念及判断 1．（2023上·高二课时练习）下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 2．（2023·全国·高二专题练习）判断下列问题是否为排列问题： (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互打电话． 3．（2023上·高二课时练习）判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）顺序是判断是否为排列问题的关键点，也是唯一的判断依据．( ) （2）在排列的问题中，总体中的元素可以有重复．( ) （3）用1，2，3这三个数字组成无重复数字的三位数.123与321是不相同的排列．( ) （4）圆上的10个不同点中任取两个点作弦是排列问题．( ) 考点二、排列的列举问题 4．（2023·高二课时练习）北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有 种机票． 5．（2023上·高二课时练习）写出从a、b、c、d四个元素中任取两个不同元素的所有排列． 6．（2023·高二课时练习）（1）从四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？ （2）写出从4个元素中任取3个元素的所有排列． 考点三、