03空间向量与立体几何-广东省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教A版2019)

03空间向量与立体几何-广东省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教版A版，2019新版） 一、单选题 1．（2022上·广东揭阳·高二统考期末）若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022上·广东珠海·高二珠海市第一中学校考期末）已知正方体的内切球的表面积为，是棱上一动点，当直线与平面的夹角最大时，四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（2022上·广东珠海·高二珠海市第一中学校考期末）已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2022上·广东茂名·高二统考期末）已知向量，则（　　） A． B．4 C．5 D． 5．（2023上·广东深圳·高二统考期末）在三棱锥中，平面，，，则直线与夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 6．（2023上·广东深圳·高二统考期末）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（2022上·广东深圳·高二统考期末）在三棱锥中，两两垂直，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（2022上·广东深圳·高二统考期末）已知空间向量，则实数（    ） A．0 B． C． D．2 9．（2022上·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期末）如图，在四面体中，是的中点，是上靠近点的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（2022上·广东珠海·高二珠海市第一中学校考期末）在正方体中，为棱的中点，是正方体内（含边界）一点，满足，若，则的取值范围是 ． 11．（2023上·广东深圳·高二统考期末）如图，正方形与正方形所在平面互相垂直，，，分别是对角线，上的动点，则线段的最小长度为 ． 12．（2022上·广东深圳·高二统考期末）已知A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，平面外一点O，满足，则 ． 13．（2023上·广东广州·高二统考期末）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，动点在底面正方形内(包括边界)，若平面，则长度的最大值为 . 14．（2023上·广东深圳·高二统考期末）如图，在直角中，，，为斜边上异于、的动点，若将沿折痕翻折，使点折至处，且二面角的大小为，则线段长度的最小值为 ． 15．（2023上·广东汕尾·高二统考期末）已知向量，且，则 . 16．（2023上·广东深圳·高二统考期末）已知，，若，则 ． 17．（2023上·广东清远·高二统考期末）已知平面内一点，点在平面外，若的一个法向量为，则Q到平面的距离为 ． 三、解答题 18．（2022上·广东珠海·高二珠海市第一中学校考期末）如图，在三棱台中，已知平面平面，，，．    (1)证明：； (2)求二面角的余弦值． 19．（2023上·广东深圳·高二统考期末）如图，在直三棱柱中，，，是的中点，在棱上，且．已知平面与平面的夹角为． (1)求的长； (2)求点到平面的距离． 20．（2023上·广东深圳·高二统考期末）如图，在平行六面体中，，．设，，． (1)用基底表示向量，，，； (2)证明：平面． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】利用空间向量基本定理以及空间向量共面定理，依次判断四个选项即可. 【详解】对于A，，所以三个向量共面，故A错误， 对于B，，所以三个向量共面，故B错误， 对于C，假设三个向量共面，则存在非零实数，，满足，整理可得，因为，，不共面，所以，无解，所以假设不成立，则三个向量不共面，故C正确， 对于D，，所以三个向量共面，故D错误. 故选：C 2．A 【分析】根据向量法及函数思想，求出点位置，再利用向量法求解点面距，最后即可计算四面体的体积． 【详解】解：建系如图，    正方体的内切球的表面积为，则内切球半径， 易得正方体的棱长为1， ，0，，，1，，，1，，设，0，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取， 直线与平面的夹角的正弦值为： ， 令，，，，， ， 令，，，，， ，，， 当，即，即时，直线与平面的夹角的正弦值取得最大值， 此时直线与平面的夹角也最大， 当直线与平面的夹角最大时，为棱的中点， 此时平面的法向量，又， 点到平面的距离为， 此时，，则△的面积为， 此时四面体的体积， 故选：． 【点睛】关键点点睛：向量法求解线面角问题，函数思想，化归转化思想，向量法求解点面距问题.解题的关键是建立空间直角坐标系，确定点的位置是为棱的中点，然后利用点面距的向量求法，求出四面体的高． 3．B 【分析】根据空