第12章 多元线性回归（课件）- 《应用统计学》同步教学（清华大学版）

1 本章教学目标： 了解回归分析在经济与管理中的广泛应用； 掌握回归分析的基本概念、基本原理及其分析应用的基本步骤； 熟练掌握使用软件求解回归方程及其运行输出结果的分析与使用； 能应用回归分析方法解决实际问题（分析各种变量间的关系，进行预测和控制）； 第12章 多元线性回归 应用统计第1章 1 2 本章主要内容： §12.1 多元线性回归的数学模型 §12.2 参数β的最小二乘估计 §12.3 多元回归模型的显著性检验 §12.4 预测与控制 §12.8 多元回归分析上机实现 本章内容重点： 回归方程和回归系数的显著性检验；多元线性回归及其预测和控制；软件的求解分析。 3 在许多实际问题中，对某一变量 Y 有重要影响的解释变量不止一个，此时就需要研究一个随机变量 Y 与多个普通变量 X1, X2, ···, XP 之间的回归关系，这就是多元回归问题。 多元线性回归分析的原理与一元线性回归是相同的，但分析时要使用矩阵这一工具，且运算量要大得多，因此本章不过多着重于理论分析，而是通过Excel的分析进行说明，并且在12.8节增加了SPSS软件和JMP软件的上机实现的内容。 §12.1 多元线性回归的数学模型 4 设被解释变量 Y 与 P 个解释变量 X1, X2, ···, XP 之间 存在线性相关关系。 则 Y 与 X1, X2, ···, XP 之间的多元 线性回归模型为： Y= 0 + 1 X1 + 2 X2 + ··· + P XP +  ， ~N (0, 2 ) (12.1-1) 设第 i 次试验数据(yi；xi1, xi2,…, xip), i =1, 2,…, N， 则多元线性 回归有如下数据结构： yi = 0 + 1 xi1 + 2 xi2 + ··· + p xip + i (12.1-2) i ～N(0,  2 )，且相互独立 i = 1, 2, ···, N 一. 多元线性回归的数学模型 (12.1.2)式还可详细表述为 为了便于分析，引进以下矩阵，记 则(12.1.2)式可以写成如下矩阵形式 Y = X + (12.1.3) 其中是N维随机向量，各分量相互独立且服从N(0, 2)。 5 6 设 在多元线性回归中，同样使用最小二乘法进行参数估计。 则多元线性回归方程为 为参数 0, 1, ···, P 的最小二乘估计， 同样称 为回归方程的回归系数。 二. 参数  的最小二乘估计 由最小二乘估计的原理，应使全部观察值与回归值的残差平方和达到最小，即使 则应是以下正规方程组的解 7 经整理后，正规方程组可化为如下矩阵形式 (12.2.2) 称XTX为正规方程组的系数矩阵。在系数矩阵XTX满秩的条件下，可解得参数β的最小二乘估计为 (12.2.3) 同样，称 为回归方程（12.2.1）的回归系数。多元回归中的回归系数称为净回归系数（Net Regression Coefficient），表示在其他自变量保持不变的情况下，一个自变量变化一个单位所引起Y的变化。 Excel软件能方便地求解多元线性回归问题。 8 应用举例 【例12.1】 一家公司想要将产品A在推广到全国之前确定价格和店内促销月预算（包括标志和展示、店内优惠券和免费样品）对市场销售量的影响，计划在一系列超市中选取34家作为样本，为产品A的销售进行市场测试研究。表12.1 是34家超市的市场测试研究结果。试建立基于价格和促销费用对销售量的多元线性回归模型。 9 10 11 解：可以建立基于价格和促销手段对销售量的二元线性回归模型，。需要在表12.1数据的基础上确定回归系数 。可以根据公式（12.2.3），在Excel中手动求得 。具体步骤如下： （1）输入X（在A列中输入1是为了构建矩阵X）； （2）用TRANSPOSE函数，计算 ；TRANS