2023-2024学年人教版九年级上册数学期末几何探究题压轴题专题训练

人教版九年级上册数学期末几何探究压轴题专题训练 1．已知在中，，四边形是正方形，H为所在的直线与的交点． 问题解决： (1)如图1，当点F在上时，请判断和的关系，并说明理由． 问题探究： (2)如图2，将正方形绕点C旋转，当点D在直线右侧时，求证：； 问题拓展： (3)将正方形绕点C旋转一周，当时，若，请直接写出线段的长．    2．问题发现： 如图1，在中，，，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则： （1）①的度数是______；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是______； 拓展探究： （2）如图2，在中，，，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请写出的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由； 解决问题： （3）如图3，在中，，，，若点A满足，，求线段AD的长度． 3．等腰和等腰如图1放置，，． 【问题探究】 （1）连接，于点O，请说明、的数量关系和位置关系； 【深入探究】 （2）如图2，连接，，若，， ①则 ． ②如图3，将等腰绕点A旋转，交于点F，当是直角三角形时，的长为 ； 【迁移应用】 （3）如图4，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，过点C作直线轴，点D是直线上的一个动点，线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段，则的最小值为 ． 4．如图，点O是等边内一点，，等于，将绕点C按顺时针方向旋转得，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)求的度数； (3)若，请探究：当为多少度时，是等腰三角形． 5．【基础复习】如图1，将绕着点A逆时针旋转一定角度，得到，连接，，请写出你发现的结论________．（至少写出两个，不再添加辅助线） 【类比探究】如图2，在正方形中，F是上的一点．连接，将绕点A顺时针旋转，设F点旋转后的对应点为E，连接，补全旋转后的图形．判断的形状，并说明理由． 【拓展拔高】如图3，在正方形的内部，作，交于点E，交于点F，连接，求证：．    6．【探究与证明】 活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题进行探究． 【问题情境】 如图①，在矩形中，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点． 【猜想证明】从特殊到一般 (1)当时，四边形的形状为 ；（直接写出答案） (2)如图②，当时，连接，求此时的面积； (3)如图③，连接，请找出其中的全等三角形并证明； (4)是否存在，使点三点共线？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 7．综合与实践 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图1，在中，，，D，E分别为，边上一点，连接，且，将绕点A在平面内旋转． (1)观察猜想 若，将绕点A旋转到如图2所示的位置，则与的数量关系为　　； (2)类比探究 若，将绕点A旋转到如图3所示的位置，，相交于点O，猜想，满足的位置关系，并说明理由； (3)拓展应用 如图4，在（2）的条件下，连结，分别取，，的中点M，P，N，连结，，，若，，请直接写出在旋转过程中面积的最大值． 8．小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题做如下探究： 【问题背景】 如图①，在四边形中，，，探究线段之间的数量关系．小明同学探究此问题的思路是：将绕点D逆时针旋转到处，点B、C分别落在点A、E处（如图②），易证点C、A、E在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论： ．    【理解图形】 （1）在图①中，若，则　　． 【提升应用】 （2）如图③，，，若，求的长．（用含a、b的代数式表示）． （3）如图④，，点P为的中点，若点E满足，，点Q为的中点，则　　． 9．【问题探究】    （1）如图1，锐角中，分别以、为边向外作等腰直角和等腰直角，使，，，连接，，请判断与的数量关系，并说明理由． 【深入探究】 （2）如图2，四边形中，，，，求的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和全等的三角形，将进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算； 【变式思考】 （3）如图3，四边形中，，，，，，则 ．（直接写出答案） 10．已知：边长为的正方形，的两边分别与射线、相交于点，且，连接．求证：．    (1)思路分析：如图1，正方形中，，，把绕点逆时针旋转至，则、、在一条直线上，_________度，（填空：直接写结果） …… 根据全等三角形判定定理，可证：． (2)类比探究：如图2，当点在线段的延长线上，探究、、之间存在的数量关系，并写出证明过程； (3)拓展应用：如图3，在中，，在上，．若，，求线段、、围成的三角形的面积． 11．综合与实践 如图1，矩形的边，，将矩形绕点A逆时针旋转角得到矩形，与交于点H． 数学思考：（1）填空：图