专题06 导数中的存在与恒成立问题 讲义-2024届高三数学二轮复习

专题06·导数中的存在与恒成立问题 命题规律 存在与恒成立问题在近几年高考以及各种考试中经常出现，这类问题既含自变量又含参变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、知识交汇点多等特点。解决这类问题的关键是等价转化，通过化归为常见不等式的解法或利用函数求其最值等等来处理。其常用方法主要有：利用分离参数法、数形结合法、最值法、构造法、一元二次方程根的判别式、更换主元法等策略。 题型归纳 题型1 分离参数法 【解题技巧】 1．利用分离参数法来确定不等式,（,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤:①将参数与变量分离,即化为（或）恒成立的形式；②求在上的最大（或最小）值；若分离参数后，所求最值恰好在“断点处”，则可以通过洛必达法则求出“最值”；③解不等式(或) ,得的取值范 2．重要结论 ≥f(x)恒成立⇔≥f(x)max；≤f(x)恒成立⇔≤f(x)min ； ≥f(x)能成立⇔≥f(x)min；≤f(x)能成立⇔≤f(x)max。 3．参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则： （1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法. （2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题． 【例1】（2022•南京模拟）对任意x∈（0，+∞），不等式（a﹣1）x+ln（ax）≤ex恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A．（0，1] B．（0，e] C．（0，2e] D．（0，e2] 【分析】不等式可转化为对任意x∈（0，+∞）恒成立，构造利用导数求出h（x）的最小值即可． 【解答】解：由（a﹣1）x+ln（ax）≤ex，得ax+ln（ax）≤ex+lnex， ∵y＝x+lnx在（0，+∞）上为增函数，∴ax≤ex，即对x∈（0，+∞）恒成立， 设函数，则， 由h'（x）＜0，可得0＜x＜1，由h'（x）＞0，可得x＞1， ∴h（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数， ∴a≤h（x）min＝h（1）＝e， ∵ax＞0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，∴a＞0，∴a的取值范围为（0，e]． 故选：B． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，不等式恒成立问题，考查了转化思想，属中档题． 【例2】（2023•广东模拟）已知函数f（x）＝ax+lnx+1﹣xe2x对任意的x＞0，f（x）≤0恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，3] 【分析】根据题意将不等式进行参变分离，得到在（0，+∞）上恒成立，令，求函数g（x）的最小值即可． 【解答】解：因为x＞0，且f（x）≤0恒成立， 则在（0，+∞）上恒成立，令， 则，令φ（x）＝2x2e2x+lnx，则， 所以φ（x）＝2x2e2x+lnx在（0，+∞）上单调递增， 又因为φ（1）＝2e2＞0，， 所以存在，使得， 当x∈（0，x0）时，φ（x）＜0，也即g'（x）＜0，此时函数g（x）单调递减； 当x∈（x0，+∞）时，φ（x）＞0，也即g'（x）＞0，此时函数g（x）单调递增； 故， 因为，所以， 则，令h（t）＝tet（t＞0），则h'（t）＝et+tet＞0， 所以h（t）＝tet（t＞0）在（0，+∞）上单调递增，则有， 所以 ， 所以g（x）min＝2，则a≤2，即实数a的取值范围是（﹣∞，2]． 故选：B． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，不等式恒成立问题，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题． 题型2 切线法 【解题技巧】 把恒成立问题，转化为直线与曲线的位置关系，可通过直线与曲线相切求参数的临界值． 【例1】（2023•白山一模）若关于x的不等式2ex+x2﹣2ax≥3﹣a2恒成立，则a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，e] B．[e，+∞） C．（﹣∞，1] D．[1，+∞） 【分析】由题意可得2ex≥﹣x2+2ax﹣a2+3恒成立，即函数y＝2ex的图象始终在y＝﹣x2+2ax﹣a2+3的图象上方，当两函数图象相切时，a取最小值，设切点为（x0，y0），列出方程组，解出a的值，即得答案． 【解答】解：因为不等式2ex+x2﹣2ax≥3﹣a2恒成立， 即不等式2ex≥﹣x2+2ax﹣a2+3＝3﹣（x﹣a）2恒成立， 即函数y＝2ex的图象始终在y＝﹣x2+2ax﹣a2+3的图象上方， 当两函数图象相切时，a取最小值， 又因为y＝2ex