第05讲 拓展一：数学探究：杨辉三角的性质与应用（知识清单+4类热点题型精讲+强化分层精练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）

第05讲 拓展一：数学探究：杨辉三角的性质与应用 知识点01：二项式系数的性质 ①各二项式系数和： ； ②奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 知识点02：杨辉三角至少具有以下性质： ①每一行都是对称的，且两端的数都是1 ②从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和． ③当时，二项式系数是逐渐变大的；当时，二项式系数是逐渐变小的． (4)当是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大． 题型01二项展开式的系数问题 【典例1】（2022·全国·高三校联考竞赛）设整数，的展开式中与xy两项的系数相等，则n的值为 . 【典例2】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）的展开式中含项的系数为 . 【典例3】（2017·高二课时练习）已知(n∈N＋)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1，求展开式中含的项． 【变式1】（2024·吉林白山·统考一模）已知二项式的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45，则展开式的常数项为 ． 【变式2】（2023下·辽宁·高二校联考阶段练习）设，已知，则 ，的展开式中含的系数为 . 【变式3】（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，且的系数为，则 . 题型02杨辉三角的有关问题 【典例1】（多选）（2023下·重庆·高二统考期末）杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和.那么下列说法中正确的是（    ）    A．第行的第个位置的数是 B．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组织一个新的数列，则数列是两项奇数和两项偶数交替呈现的数列 C．70在杨辉三角中共出现了3次 D．210在杨辉三角中共出现了6次 【典例2】（多选）（2021下·湖北武汉·高二统考阶段练习）中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页.而同杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如下图所示（其中n是行数，r是列数，）下面关于莱布尼茨三角形的性质描述正确的是（    ） A．每一行的对称性与增减性与杨辉三角一致 B．第10行从左边数第三个数为 C． D． 【典例3】（2022下·北京朝阳·高二统考期末）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》里，出现了图1这张表.杨辉三角的发现比欧洲早500年左右.如图2，杨辉三角的第行的各数就是的展开式的二项式系数. 则第10行共有 个奇数；第100行共有 个奇数. 【典例4】（2021下·江苏·高二专题练习）在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示. （1）在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中有三个相邻的数之比是3：4：5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由； （2）已知n，r为正整数，且，求证：任何四个相邻的组合数不能构成等差数列. 【变式1】（多选）（2022下·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，+            例如第行的为第行中两个的和．则下列命题中正确的是(    ) A．在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是 B．在“杨辉三角”中，当时，从第行起，每一行的第列的数字之和为 C．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 D．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 【变式2】（2022下·湖北·高二校联考阶段练习）如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：，记此数列的前项之和为，则的值为 . 【变式3】（2022下·湖南常德·高二临澧县第一中学校考阶段练习）在的展开式中（其中，，…，叫做项式系数），当，2，3，…，得到如下左图所示的展开式，如图所示的“广义杨辉三角”： （1）若在的展开式中，的系数为75，则实数的值为 ； （2） （可用组合数作答）. 【变式4】（2022下·上海奉贤·高三上海市奉贤中学校考阶段练习）如图，我们在第一行填写整数到，在第