高效作业十四 抛物线-【优化探究】2023-2024学年高二数学寒假高效作业（人教A版2019）

高效作业十四　抛物线 １．抛物线的定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l(点F 不在直线l上)的距离相等的点的轨迹叫做 抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线． ２．抛物线的标准方程和几何性质 标准 方程 y２ ＝２px (p＞０) y２＝ －２px(p ＞０) x２ ＝２py (p＞０) x２＝－２py (p＞０) 图形 顶点 O(０,０) 对称 轴 x轴 y轴 焦点 F p２ ,０( ) F －p２,０( ) F ０, p ２( ) F ０,－ p ２( ) 离心 率 e＝１ 准线 方程 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 范围x≥０,y∈Rx≤０,y∈Ry≥０,x∈Ry≤０,x∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半 径(其 中P (x０, y０)) |PF|＝ x０＋p２ |PF|＝ －x０＋p２ |PF|＝ y０＋p２ |PF|＝ －y０＋p２ 与抛物线焦点弦有关的几个常用结论 设AB 是过抛物线y２＝２px(p＞０)焦点F 的弦,若A(x１,y１),B(x２,y２),α为弦AB 的 倾斜角．则 (１)x１x２＝p ２ ４ ,y１y２＝－p２． (２)|AF|＝ p１－cosα ,|BF|＝ p１＋cosα． (３)弦长|AB|＝x１＋x２＋p＝ ２p sin２α ． (４) １|AF|＋ １ |BF|＝ ２ p． (５)以弦AB 为直径的圆与准线相切． １．在平面内,“点P 到某定点的距离等于到 某定直线的距离”是“点P 的轨迹为抛物 线”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ２．抛物线y２＝２px过点A(２,４),F是其焦点,又 定点B(８,－８),那么|AF|∶|BF|＝ (　　) A．１∶４　　　　　　　　B．１∶２ C．２∶５ D．３∶８ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４３􀅰 ３．抛物线y２＝４x的焦点为F,点P 为抛物线 上的 动 点,点 M 为 其 准 线 上 的 动 点,当 △FPM 为等边三角形时,其面积为 (　　) A．２ ３ B．４ C．６ D．４ ３ ４．如图所示,南北方向的公路l,A 地在公路正 东２km处,B 地在A 东偏北３０°方向２ ３ km处,河流沿岸曲线PQ 上任意一点到公 路l和到A 地距离相等．现要在曲线PQ 上 建一座码头,向A,B 两地运货物,经测算, 从M 到A、到B 修建费用都为a 万元/km, 那么,修建这条公路的总费用最低是(单位: 万元) (　　) A．(２＋ ３)a B．２(３＋１)a C．５a D．６a ５．(多选)已知F 为抛物线y２＝２px(p＞０)的 焦点,过F 的直线l交抛物线于A(x１,y１), B(x２,y２)(点A 在第一象限),则下列结论 正确的是 (　　) A．x１x２＝p ２ ４ B．若直线的倾斜角为６０°,则AB 的长为４p C． １|FA|＋ １ |FB|＝ ２ p D．x１x２＋y１y２＝－ ３p２ ４ ６．(多选)经过抛物线y２＝２px(p＞０)的焦 点F 的 直 线 交 抛 物 线 于 A,B 两 点．设 A(x１,y１),B(x２,y２),则下列说法中正确 的是 (　　) A．当AB 与x 轴垂直时,|AB|最小 B． １|AF|＋ １ |BF|＝ １ p C．以弦AB 为直径的圆与直线x＝－p２ 相离 D．y１y２＝－p２ ７．抛物线y＝－１４x ２上的动点 M 到两定点 F(０,－１),E(１,－３)的 距 离 之 和 的 最 小 值为　　　　． ８．已知抛物线y２＝１２x ,则弦长为定值１的焦 点弦有　　　　条． ９．在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线y２＝ ６x的焦点,A,B 是抛物线上两个不同的点, 若|AF|＋|BF|＝５,则线段AB 的中点到y 轴的距离为　　　　． １０．抛物线C:y２＝２px(p＞０)的焦点为F(１, ０),过点F 的直线与C 交于A,B 两点,C 的准线与x 轴的交点为M,若△MAB 的面 积为８ ３ ３ ,则|AF| |BF|＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋