高效作业十三 双曲线-【优化探究】2023-2024学年高二数学寒假高效作业（人教A版2019）

高效作业十三　双曲线 １．双曲线的定义 平面内到两个定点F１,F２的距离的差的 绝对值等于常数２a(２a＜|F１F２|)的点P 的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲 线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的 焦距． ２．双曲线的标准方程 (１)中心在坐标原点,焦点在x 轴上的双曲 线的标准方程为x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)． (２)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲 线的标准方程为y ２ a２ －x ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)． ３．双曲线的几何性质 标准方程 x２ a２ －y ２ b２ ＝１ (a＞０,b＞０) y２ a２ －x ２ b２ ＝１ (a＞０,b＞０) 范围 |x|≥a,y∈R |y|≥a,x∈R 对称性 对称轴:x轴,y轴;对称中心:原点 焦点 F１　　,F２　　 F１ 　 　 　, F２　　　 顶点 A１(－a,０),A２(a,０) A１(０,－a), A２(０,a) 轴 线段A１A２,B１B２分别是双曲线的实 轴和虚轴;实轴长为　　　　,虚轴 长为　　　　 焦距 |F１F２|＝２c 续表 标准方程 x２ a２ －y ２ b２ ＝１ (a＞０,b＞０) y２ a２ －x ２ b２ ＝１ (a＞０,b＞０) 离心率 e＝ca＝ １＋b ２ a２ ∈(１,＋∞) e 是 表 示 双 曲线 开 口 大 小的一个量, e 越 大 开 口 越大 渐近线 y＝±bax y＝± a bx a,b,c的 关系 a２＝　　　　 １．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的 长为２b ２ a ,也叫通径． ２．与双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)有共同渐 近线的方程可表示为x ２ a２ －y ２ b２ ＝t(t≠０)． ３．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b． ４．若P 是双曲线右支上一点,F１,F２分别为双 曲线 的 左、右 焦 点,则|PF１|min＝a＋c, |PF２|min＝c－a． ５．双曲线上的点P(x０,y０),∠F１PF２＝θ,若 △PF１F２ 的面积为S,则S＝ １ ２|PF１| 􀅰 |PF２|􀅰sinθ＝ b２ tanθ２ ＝c|y０|． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１３􀅰 １．(多选)已知方程 x ２ ４－t＋ y２ t－１＝１ 表示的曲线 为C．给出以下判断,正确的是 (　　) A．当１＜t＜４时,曲线C表示椭圆 B．当t＞４或t＜１时,曲线C表示双曲线 C．若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆,则 １＜t＜５２ D．若曲线C表示焦点在y 轴上的双曲线,则 t＞４ ２．若a＞１,则双曲线x ２ a２ －y２＝１的离心率的取 值范围是 (　　) A．(２,＋∞)　　　　　B．(２,２) C．(１,２) D．(１,２) ３．已知双曲线C:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的焦 距为１０,点P(２,１)在C 的渐近线上,则双曲 线C的方程为 (　　) A．x ２ ２０－ y２ ５＝１ B． x２ ５－ y２ ２０＝１ C．x ２ ８０－ y２ ２０＝１ D． x２ ２０－ y２ ８０＝１ ４．已知F１,F２ 为双曲线C: x２ ３－y ２＝１的左、 右焦点,点 P 在C 上,∠F１PF２＝６０°,则 △PF１F２ 的面积为 (　　) A．３ B．３３ C．３２ D．２ ３ ５．设双曲线x ２ １６－ y２ １２＝１ 的左、右焦点分别为 F１,F２,过F１ 的直线l交双曲线左支于A,B 两点,则|AF２|＋|BF２|的最小值为 (　　) A．２０ B．２１ C．２２ D．２３ ６．设双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的右焦点 为F,右顶点为A,过F作AF 的垂线与双曲 线交于B,C 两点,过B,C 分别作AC,AB 的垂线,两垂线交于点D．若D 到直线BC 的距离等于a＋ a２＋b２,则该双曲线的离心 率e＝ (　　) A．２ B．３ C．２ D．５ ７．如图所示,已知双曲线以长方形ABCD 的顶 点A,B 为左、右焦点,且双曲线过C,D 两顶 点．若AB＝４,BC＝３,则此双曲线的标准方 程为 　． ８．已