专题10 几个三角恒等式（6大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-【寒假自学课】2024年高一数学寒假提升学与练（苏教版2019）

专题10 几个三角恒等式 知识聚焦 考点聚焦 知识点1 积化和差公式与和差化积公式 1、积化和差公式 2、和差化积公式 、 3、应用和差化积公式时的注意事项 （1）在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行， 若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次，必须用降幂公式降为一次。 （2）根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑： ①运用公式之后，能否出现特殊角； ②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项。 （3）为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当做三角函数值才能应用公式， 如 知识点2 半角公式及万能公式 1、半角公式： ＝±， ＝±， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． ； 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 2、万能公式 ； ； 3、利用半角公式求值的思路 （1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解； （2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围； （3）选公式：涉及半角公式的正切值时，常用，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常利用，计算。 （4）下结论，结合（2）求值。 · 考点剖析 考点1 积化和差公式的应用 【例1】（2023·高一课时练习）（ ） A．+cos 4x B．sin 4x C．+cos 4x D．+sin 4x 【变式1-1】（2023·高一课时练习）的值是（ ） A． B． C． D．1 【变式1-2】（2023·高一课时练习）若，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·高一课时练习） 化为和差的结果是 . 考点2 和差化积公式的应用 【例2】（2023·全国·高一假期作业） ． 【变式2-1】（2023·全国·高一课堂例题）（1） ； （2） ． 【变式2-2】（2023·全国·高一随堂练习）把下列各式化成积的形式： （1）； （2）； （3）． 【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）已知，求的值为（ ） A． B． C． D． 考点3 半角公式的应用 【例3】（2023上·全国·高一专题练习）设，，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·全国·高一专题练习）已知为锐角，，则（ ）． A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·全国·高一专题练习）已知点是角的终边上一点，则（ ） A． B． C．或 D．或 【变式3-3】（2023·全国·高一课堂例题）已知，则 ． 考点4 三角恒等式的证明 【例4】（2023·江苏·高一专题练习）已知，求证：． 【变式4-1】（2023·全国·高一专题练习）已知、为两相异锐角，且满足方程，求证：. 【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）证明：. 【变式4-3】（2023·江苏徐州·高一校考期中）求证下列恒等式： （1）； （2） 考点5 三角形中的三角恒等变换 【例5】（2023·广东中山·高一中山纪念中学校考阶段练习）在锐角中，若，则的最小值为( ) A．4 B．6 C．8 D．10 【变式5-1】（2023·全国·高一专题练习）在中，若，则此三角形为（ ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式5-2】（2023·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期中）在中，，则的形状为（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【变式5-3】（2023·江苏宿迁·高一校考阶段练习）已知为斜三角形． （1）证明：； （2）若为锐角三角形，，求的最小值． 考点6 三角恒等变换的实际应用 【例6】（2023·四川达州·高一校考期中）如图所示，已知OPQ是半径为2，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积． 【变式6-1】（2023·江苏宿迁·