4.4数学归纳法2 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.4数学归纳法 （2） 在数学研究中，人们会遇到这样的情况，对于 任意正整数n(n∈N+)或不小于某个数n0的任意正整 数n(n∈N+，n≥n0)，都有某种不等关系成立.为表达 这样的关系，就出现了与无数多个正整数相关的不 等式，例如： 这类不等式的证明，我们将使用一种重要的数学 推理方法 —— 数学归纳法. 先证明当n 取第一个值 （ 如 ）时命题成立，然后假 设当 时命题成立，再证明当 时命题 也成立，那么就证明这个命题成立，这种证明方法叫做数学归纳 法． 数学归纳法: 知识回顾 2. 数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当 取第一个值 （如 或2等）时结论正确； （2）假设时 结论正确，证明 时结论也正确． 递推基础 递推依据 在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从n0 开始 的所有正整数n都正确. 注意: 1. 数学归纳法适用范围:仅限于与正整数有关的数学命题. （3）根据（1）和（2），当 n≥n0，且 n∈N＊时，命题正确 . 数学归纳法的应用 应用一：证明等式成立 应用二：归纳、猜想、证明数列有关问题 应用三：证明不等式问题 同理可得 下面用数学归纳法证明这个猜想． (3)证明：用数学归纳法证明． 这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用． (1)计算：根据条件，计算若干项． (2)归纳猜想：通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论． 方法归纳：数归法证明不等式 用数学归纳法证明不等式的要点仍是理清 时的结论与 时的结论之间的关系.两个步骤,缺一不可. 可结合分析法、综合法、反证法、放缩法等方法进行证明. 有时需要加强命题或变换命题. 课后作业 1.教材P51练习：T2，T3，T4 2.教材P50习题4.4：T3，T4 P52：T6，T7,T9,T10 做人做事贵在求实 学文学理重在用心 “归纳—猜想—证明”类问题的一般思路 例3.用数学归纳法证明 . 证明 (1)当 时,左边 右边,结论成立. (2)假设当 时结论成立,即 , 则当 时, 左边 显然成立,从而当 时,结论成立. 由(1),(2)知原不等式对 恒成立. 方法总结:本题证明中从 到 增加了从 到 共 项,再将每项都放大为 (便于相加). 若要得反向的不等式,可考虑将它们都缩小成 . 跟踪练习 设实数c>0，整数p>1，n∈N*.证明：当x>－1且x≠0时，(1＋x)p>1＋px. 证明：①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立． ②假设p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k>1＋kx成立． 当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)·(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x. 所以当p＝k＋1时，原不等式也成立． 综合①②可得，当x>－1，x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1＋x)p>1＋px均成立． 例1：已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝eq \f(an,2)＋eq \f(1,an)－1，且an＞0，n∈N*. (1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式； (2)证明通项公式的正确性． 备选例题 例1：已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝eq \f(an,2)＋eq \f(1,an)－1，且an＞0，n∈N*. (1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式； (2)证明通项公式的正确性． 解：(1)当n＝1时，由已知得a1＝eq \f(a1,2)＋eq \f(1,a1)－1，即aeq \o\al(2,1)＋2a1－2＝0. ∴a1＝eq \r(3)－1(a1＞0)． 当n＝2时，由已知得a1＋a2＝eq \f(a2,2)＋eq \f(1,a2)－1， 将a1＝eq \r(3)－1代入并整理得aeq \o\al(2,2)＋2eq \r(3)a2－2＝0. ∴a2＝eq \r(5)－eq \r(3)(a2＞0)．同理可得a3＝eq \r(7)－eq \r(5). 猜想an＝eq \r(2n＋1)－eq \r(2n－1)(n∈N*)． (2)证明：①由(1)知，当n＝1,2,3时，通项公式成立． 将ak＝eq \r(2k＋1)－eq \r(2k－1)代入上式， 整理得aeq \o\al(2,k＋1)＋2eq \r(2k＋1) ak＋1－2＝0， ∴ak＋1＝eq \r(2k＋3)－eq \r(2k