4.4数学归纳法1 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

一、 知识引入 在数列的学习过程中，我们已经用归纳的方法得出了一些结论，例如等差数列 的通项公式 ，但并没有给出严格的数学证明，那么， 有关的问题，我们怎样 本节我们就来介绍一种重要的证明方法-----数学归纳法 对于这类与正整数n 证明它对每一个正整数n都成立呢？ 新课引入 ①观察：6＝3＋3，8＝5＋3，10＝3＋7，12＝5＋7，14＝3 ＋ 11，16＝5＋11，···78＝67＋11，···我们能得出什么结论？ 任何一个大于等于6的偶数，都可以表示成两个奇质数之和． 哥德巴赫猜想 ②教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格” ． 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常 叫做归纳法． 不完全归纳法 完全归纳法 4.4数学归纳法 （1） 思路1.我们可以从开始一个个往下验证。一般来说，与正整数 n 有关的命题，当比较小时可以逐个验证，但 当n较大时，验证起来会很麻烦。特别当 n 取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的。因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法。 多米诺骨牌 ⑴ 第一块骨牌倒下； ⑵ 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下 (3)所有骨牌都倒下 问题思考1：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？ （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下. 问题思考2：你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言来描述它？ 可以看出，条件（2）给出一个递推根据（关系），当第k块倒下， 相邻的第k+1块也倒下。 探究2. 你认为证明前面的猜想“数列的通项公式是 与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？ （2）若第K块骨牌倒下时，则使相邻的第K+1块骨牌也倒下. （1）第一块骨牌倒下； 根据（1）（2）不论有多少块骨牌，都能全部倒下 当n=k+1时， 猜想也成立 先证明当n 取第一个值 （ 如 ）时命题成立，然后假 设当 时命题成立，再证明当 时命题 也成立，那么就证明这个命题成立，这种证明方法叫做数学归纳 法． 由多米诺骨牌的原理，我们可以用到有关自然数命题的证明中. 思考3：归纳上述过程的共性，你能推出的一般结构吗？ 思考4：数学归纳法的两个步骤之间有什么关系？ 数学归纳法原理 2. 数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当 取第一个值 （如 或2等）时结论正确； （2）假设时 结论正确，证明 时结论也正确． 递推基础 递推依据 在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从n0 开始 的所有正整数n都正确. 说 明: 1. 数学归纳法适用范围:仅限于与正整数有关的数学命题. 4. 数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂或不可行的缺点， 又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法， 使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷． 例1：用数学归纳法：如果 是等差数列，已知首项为 ， 对一切 都成立． 证明：（1）当n=1时， 等式是成立的． （2）假设当n=k时等式成立，就是 那么 这就是说，当n=k+1时，等式也成立 由（1）和（2），可知的等式对任何 都成立． 这就是数学归纳法．它一定能保证结论正确． 公差为 ，那么 例2. 用数学归纳法证明: 右边＝　　 那么 （2）假设当n=k时，等式成立， ，等式成立 . 证明： （1）当n=1时， 左边＝12＝1， 就是 这就是说，当n=k+1时，等式也成立． 由（1）和（2），可知的等式对任何 都成立． 小结反思 升华素养 2．记牢“4个关键点” 两个步骤要做到，递推基础不可少； 归纳假设要用到，结论写明莫忘掉． 课后作业 教材P47练习：T1，T2；P51练习T1 教材P51习题4.4：T1，T2（3）P52：T8 学好数学三绝招：眼尖、手勤、心细 针对薄弱环节狠做题。 设 是一个与正整数有关的命题,同时满足: (1) (其中 是某个正整数)成立; (2)只要 成立，就能推出___ ___成立. 则可判断对任何整数 ,命题 都成立. 上面的(1)叫“奠基”，(2)叫“归纳过渡”， 其中“假设 成立”叫“归纳假设”， 它不同于反证法中的“反证假设”. 3．两个步骤的作用和关系 步骤(1)是命题论证的基础，步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保