5.1.4用样本估计总体-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第二册）

5.1.4用样本估计总体 题型1用样本的数字特征估计总体的数字特征 2 ◆类型1用样本估计总体人数 2 ◆类型2用样本方差估计总体方差 5 ◆类型3分位数 7 题型2用样本的分布估计总体的分布 10 题型3雷达图问题 13 知识点一.用样本估计总体 1. 用样本估计总体： （1） 前提：样本的容量恰当，抽样方法合理. （2）必要性： ①在容许一定误差存在的前提下，可以用样本估计总体，这样能节省人力和物力等. ②有时候总体的数字特征不可能获得，只能用样本估计总体. （3）误差：估计一般是有误差的．但是，大数定律可以保证，当样本的容量越来越大时，估计的误差很小的可能性将越来越大. 注意：特别地，样本平均数（也称为样本均值）、方差（也称为样本方差）与总体对应的值相差不会太大。 当总体的数字特征不可能获得时，只能用样本的数字特征去估计总体的数字特征。估计一般是有误差的。但是，大数定律可以保证，当样本的容量越来越大时，估计的误差很小的可能性将越来越大。 一般来说，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的数字特征即可。 2.用样本的数字特征来估计总体的数字特征 （1）一般来说，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的数字特征即可. （2）样本是用分层抽样得到的，由每一层的数字特征估计总体的数字特征．以分两层抽样的情况为例. 条件 假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为 t2. 结论 如果记样本均值为 ，样本方差为 b2，则 , 知识点二.用样本的分布来估计总体的分布 一般情况下，如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的分布与总体分布会差不多．特别地，每一组的频率与总体对应的频率相差不会太大. 注意：如果总体在每一个分组的频率记为π1，π2，…，πm，样本在每一组对应的频率记为 p1，P2，…，Pm，一般来说，不等于零．同样，大数定律可以保证，当样本的容量越来越大时，上式很小的可能性将越来越大. 注意：一般是利用样本在某一范围内的频率近似地估计总体在所求范围内的频率。所以，首先样本抽取要合理科学，其次频率分布表（直方图）要正确绘制，或者找出题目所给频率分布表（直方图）中的相关信息，最后由样本分布估计出总体分布情况。 知识点三. “大数据”简介 凡是可以被 “数据化”的信息载体都可以看成数据．信息载体包括的数据量达到一定的规模或者达到一定的复杂程度，都可以被认为是"大数据". 题型1用样本的数字特征估计总体的数字特征 ◆类型1用样本估计总体人数 【例题1-1】（·湖北·高考真题（文））为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．根据此图，估计该校2000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为（    ） A．300 B．360 C．420 D．450 【变式1-1】1．（2023下·吉林长春·高一长春吉大附中实验学校校考期末）某校1500名学生参加交通安全知识竞赛，随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．频率分布直方图中的值为0.0045 B．估计这100名学生竞赛成绩的中位数为73 C．估计这100名学生竞赛成绩的众数为80 D．估计总体中成绩落在内的学生人数为525 【变式1-1】2．（2022·全国·益阳平高学校高一期末）2021年是中国共产党建党100周年，为全面贯彻党的教育方针，提高学生的审美水平和人文素养，促进学生全面发展．某学校高一年级举办了班级合唱活动．现从全校学生中随机抽取部分学生，并邀请他们为此次活动评分（单位：分，满分100分），对评分进行整理，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（    ） A． B．学生评分的中位数的估计值为85 C．学生评分的众数的估计值为85 D．若该学校有3000名学生参与了评分，则估计评分超过80分的学生人数为1200 【变式1-1】3．（2023下·湖南长沙·高一长郡中学校考期末）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图． 分组 频数 频率 10 24 2 合计 1   (1)写出表中、及图中的值（不需过程）； (2)若该校高三年级学生有240人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间上的人数； (3)估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数．（结果精确到0.01） 【变式1-1】4．（2023·高一课时练习）某校240名学