1.2.2 等差数列前n项和(第1课时)（同步课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册）

1.2.2 等差数列前n项和(第一课时) 1.等差数列的定义： 2.通项公式： 3.等差中项 温故知新 高斯出生于一个工匠家庭，幼时家境贫困，但聪敏异常。上小学四年级时，一次老师布置了一道数学习题：“把从1到100的自然数加起来，和是多少？”年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使老师非常吃惊。那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？    高斯（1777---1855）， 德国数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。有“数学王子”之称。 1.高斯“神速求和”的故事: 情景引入 首项与末项的和： 1＋100＝101， 第2项与倒数第2项的和： 2＋99 =101， 第3项与倒数第3项的和： 3＋98 ＝101，  · · · · · · 第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101， 于是所求的和是： 求 S=1+2+3+······+100=？ 你知道高斯是怎么计算的吗？ 高斯算法： 高斯算法用到了等差数列的什么性质？ 情景引入 2.如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数 为4、5、6、7、8、9、10，求钢管总数。 即求：S=4+5+6+7+8+9+10. 高斯算法： S=(4+10) + (5+9) + (6+8) +7 = 6×7+7=49. 还有其它算法吗？ 情景引入 S=10+9+8+7+6+5+4. S=4+5+6+7+8+9+10. 相加得： 倒序相加法 情景引入 一、等差数列前n项和公式的求法 设等差数列{an}的前n项和为Sn,则 新知探究 公式记忆 类比梯形面积公式记忆 新知探究 公式1 公式2 等差数列的前n项和公式 抽象概括 公式记忆 —— 类比梯形面积公式记忆 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．(　　) (2)若数列{an}的前n项和为Sn，则S1＝a1.(　　) (3)等差数列{an}的前n项和Sn的表达式一定为关于n的二次函数．(　　) (4)若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1，n∈N＋.(　　) √ √ ×　 ×　 巩固提升 2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a9＝10，则S9等于(　　) A．45　 B．52 C．108 D．54 答案：D   3．在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝(　　) A．230 B．420 C．450 D．540 答案：B     3       a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程组求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．     例1：求n个正奇数的和. 解: 由等差数列前n项和公式,得 也可用面积图来表示 例2：在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成,最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈.请问: (1)第9圈共有多少块石板? (2)前9圈一共有多少块石板? 解(1)设从第1圈到第9圈石板数所在成数列为{an} ,由题意可知{an}是等差数列,其中a1=9,d=9,n=9. 由等差数列的通项公式,得第9圈有石板 (2)由等差数列前n项和公式,得前9圈一共有石板 答 第9圈有81块石板,前9圈一共有405块石板. 例3 在数列{an}中 , an=2n+3,求这个数列自第100项到第200项之和S的值. 解 由于 .所以数列{an}是公差为2的等差数列,此数列自第100项到第200项仍是等差数列.共有101项,所求和为 例4 在新城大道一侧A处,运来20棵新树苗.一名工人从A处起沿大道一侧路边每隔10m栽一棵树苗,这名工人每次只能运一棵.要栽完这20棵树苗,并返回A处,植树工人共走了多少路程?. 解 植树工人每种一棵树并返回A处所要走的路程(单位:m)组成了一个数列 0,20,40,60,…,380, 这是首项为0,公差为20,项数为20的等差数列,其和 答 植树工人共走了3800 m的路程. 例5 九江抗洪指挥部接到预报,24时后有一洪峰到达.为确保安全,指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,除现有的部队指挥员和九江干群