第09讲 二项式定理（六大题型）-2024年高二数学寒假衔接知识自学讲义（苏教版2019）

第09讲 二项式定理 【题型归纳目录】 【知识点梳理】 知识点一：二项式定理 1、定义 一般地，对于任意正整数，都有： （）， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：， 其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数 2、二项式（a+b）n的展开式的特点： （1）项数：共有n+1项，比二项式的次数大1； （2）二项式系数：第r+1项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； （3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n； 知识点二、二项展开式的通项公式 二项展开式的通项： （） 公式特点： ①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是； ②字母b的次数和组合数的上标相同； 知识点三：二项式系数及其性质 1、的展开式中各项的二项式系数、、…具有如下性质： ①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即； ②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大． ③各二项式系数之和为，即； ④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和， 即． 知识点诠释： 二项式系数与展开式的系数的区别 二项展开式中，第r+1项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等． 2、展开式中的系数求法（的整数且） 知识点诠释： 三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决． 知识点四：二项式定理的应用 1、求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）． 2、利用赋值法进行求有关系数和． 3、利用二项式定理证明整除问题及余数的求法． 4、证明有关的不等式问题． 5、进行近似计算． 【典型例题】 题型一：求二项展开式的特定项或特定项的系数 【例1】（2024·河南驻马店·高二统考期末）式子二项式定理展开中的第6项为 ． 【变式1-1】（2024·高二课时练习）的展开式的第3项的系数为 ；常数项为 ． 【变式1-2】（2024·山东滨州·高二校联考阶段练习）若的展开式中的系数为50，则实数 ． 题型二：二项式之积 【例2】（2024·湖北武汉·高二武汉市东湖中学校考期末）展开式中的系数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·甘肃白银·高二校考期末）的展开式中，含的项的系数是（    ） A． B．5 C．15 D．35 【变式2-2】（2024·辽宁本溪·高二校考期末）的展开式中的系数为（    ） A． B．7 C．77 D． 题型三：三项式及多项式展开问题 【例3】（2024·贵州黔西·高二校考期末）的展开式中，的系数为（    ） A．80 B．60 C． D． 【变式3-1】（2024·四川达州·高二统考期末）的展开式中，的系数为（    ） A．20 B． C． D．15 【变式3-2】（2024·广东揭阳·高二统考期末）的展开式中的系数为（    ） A．200 B．210 C．220 D．240 题型四：有关二项式系数的性质及计算的问题 【例4】（2024·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·河南周口·高二校考阶段练习）的展开式中二项式系数最大的为，则不可能为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式4-2】（2024·山东淄博·高二统考期末）已知的展开式中第三项与第四项的系数之比为，则其展开式中二项式系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 题型五：利用赋值法进行求有关系数和 【例5】（多选题）（2024·黑龙江·高二校联考期末）若，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（多选题）（2024·河南·高二校联考期末）已知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】．（2024·高二课时练习）设，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【变式5-3】．（2024·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知二项式，且满足. (1)求的值； (2)求的值. 题型六：二项式定理的综合运用 【例6】（2024·湖北武汉·高二武汉市东湖中学校考期末）已知，且能被17整除，则的取值可以是 .（写出一个满足题意的即可