精品解析：天津市和平区2024届高三上学期期末质量调查数学试题

天津市和平区2023-2024学年高三上学期期末质量调查数学试卷 温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．祝同学们考试顺利！ 第Ⅰ卷 （选择题共45分） 注意事项： 1．答题Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： 锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高． 柱体的体积公式，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高． 如果事件互斥，则． 如果事件相互独立，则． 任意两个事件与，若，则． 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 条件，条件，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的大致图象如图所示，则它的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 4. 为深入学习宣传党二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛，选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是：．针对这一组数据，以下说法正确的个数有（ ） ①这组数据的中位数为90； ②这组数据的平均数为89； ③这组数据的众数为90； ④这组数据的第75百分位数为93； ⑤这组数据的每个数都减5后，这组数据的平均数与方差均无变化． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 已知数列为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（ ） A. 9 B. 21 C. 45 D. 93 6. 已知函数，函数图象的一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，将图象上所有的点向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知四棱锥体积为是的平分线，，若棱上的点满足，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，满足，则下列关系不可能成立是（ ） A. B. C. D. 9. 已知双曲线的右焦点为点，过点作双曲线的其中一条渐近线的垂线，垂足为点（点在第一象限），直线与双曲线交于点，若点为线段的中点，且，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 （非选择题共105分） 注意事项： 1．用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效． 2．本卷共11题，共105分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分） 10. 为虚数单位，复数满足，则的虚部为______． 11. 在的二项展开式中，的系数为______． 12. 将3个黑球和2个白球放入一个不透明的盒中，各球除颜色不同外完全相同，现从盒中两次随机抽取球，每次抽取一个球． （ⅰ）若第一次随机抽取一个球之后，将抽取出来的球放回盒中，第二次随机抽取一个球，则两次抽到颜色相同的球的概率是______； （ⅱ）若第一次随机抽取一个球之后，抽取出来的球不放回盒中，第二次从盒中余下的球中随机抽取一个球，则在已知两次抽取的球颜色相同的条件下，第一次抽取的球是白球的概率是______． 13. 直线与圆相交于两点，若点为圆上一点，且为等边三角形，则的值为______． 14. 如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，记，用表示______；设，若，则的最小值为______． 15. 若方程在区间内有两个不等的实根，则实数的取值范围为______． 三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 在中，内角所对的边分别为． （1）求的值； （2）若， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 17. 如图，四棱柱中，侧棱底面，，四棱柱的体积为36． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 在平面直角坐标系中，椭圆的左，右焦点分别为点，左，右顶点分别为点，离心率为．已知点是抛物线的焦点，点到抛物线的准线的距离为1． （1）求椭圆的方程和抛物线的方程； （2）直线交椭圆于点（点在第二象限），交轴于点的面积是面积的倍，求直线的斜率． 19. 已知等差数列前项和为，且． （1）求数列的通项公式以及； （2）若等比数列满足，且， （ⅰ）求； （ⅱ）若，，是与的等比中项且，则对任意，求的最小值． 20. 已知函数， （1）若，讨论在单调性；