重庆市字水中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题

重庆市字水中学2023-2024学年度高二上期数学第二次月考 第Ⅰ卷（选择题） 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.若直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角是（ ） 2.设为抛物线：的焦点，点在上，点，若，则（ ） 3.我国古代数学著作《周髀算经》中记载了二十四节气与晷长的关系：每个节气的晷长损益相同．晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度，如图1所示，损益相同，即相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，且周而复始．二十四节气及晷长变化如图2所示．已知谷雨时节晷长为尺，霜降时节晷长为尺，则二十四节气中晷长的最大值为（ ） 4.由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为，离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） 5.若直线：与曲线：有交点，则实数的取值范围是（ ） 6.等比数列满足，，数列满足，时，，则数列的通项公式为（ ） 7.已知数列的前项和为，且，若恒成立，则实数的最大值为（ ） 8.已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别为，，与在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，与的离心率分别为，，则的取值范围是（ ） 二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9.设等差数列的前项和为，且，，则下列结论正确的有（ ） 数列单调递减 对任意，有 10.已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（ ） 抛物线的方程为 直线的方程为 11.已知正方体中，平面，平面，，记直线与平面所成角为，则的值可能为（ ） 12.如图，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一动点，圆（圆心为）与的三边，，分别切于点，，，延长交轴于点，作交于点，则（ ） 为定值 为定值 为定值 为定值 第Ⅱ卷（非选择题） 三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13.若椭圆的弦中点坐标为，则直线的斜率为_________________． 14.如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量等于_________________． 15.在数列中，，，则数列的通项公式为____________________． 16.已知抛物线：，圆：，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，，则的取值范围是_________________． 四.解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知直线过点，且________．在下列所给的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并完成解答（若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）． ①与圆相切；②倾斜角的余弦值为；③直线的一个方向向量为． （1）求直线的一般方程； （2）若由直线上一点引圆：的切线，切点为，求的最小值． 18.如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点． （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为时，求点到平面的距离． 19.若是公差不为的等差数列的前项和，且，，成等比数列，． （1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和． 20.如图，在四边形中，，于交点，，．沿将翻折到的位置，使得二面角的大小为． （1）证明：平面平面； （2）在线段上（不含端点）是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 21.已知等差数列满足，，等比数列满足，． （1）求数列，的通项公式； （2）令，求证：，其中． 22.已知直线是双曲线的渐近线，且双曲线过点． （1）求双曲线的标准方程； （2）若双曲线与直线交于，两点，直线又与圆切于点，且，求直线的方程． 8 学科网（北京）