第12讲 乘法公式-【寒假自学课】2024年七年级数学寒假提升学与练（苏科版）

第12讲 乘法公式 乘法公式 1、平方差公式 平方差公式： 注：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 关键把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如,利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 2、完全平方公式 完全平方公式： 注：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 3、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 注：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 4、补充公式 ；； ； . 考点剖析 （运用平方差运算） 例1：下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1-1：已知，，则 ． 变式1-2：计算： (1) (2) （运用完全平方公式运算） 例2：下列算式中，可用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 变式2-1：已知实数 ，满足，则的值为 ． 变式2-2：为着力打造天蓝地绿水净、宜居宜业宜游的绿都郑州，完成2023年12月31日前的新建绿地任务，郑州加快推进生态郑州、美丽郑州建设．如图，现新建一块长为，宽为的长方形绿地，并在绿地中间修建横向和纵向宽度都为a的道路，将空地分成四块大小不同区域．    (1)求绿地（空白部分）的面积；（用含a、b的式子表示） (2)若，，求绿地（空白部分）的面积． （运用完全平方公式变形求值） 例3：已知，则的值为（    ） A．9 B．1 C．5 D．7 变式3-1：若，则的值为 ． 变式3-2：已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． （求完全平方式中的字母系数） 例4：如果关于m的二次三项式是完全平方式，那么a的值为（    ） A．1 B．4 C． D． 变式4-1：已知代数式是一个完全平方式，则有理数的值为 ． 变式4-2：阅读理解：所谓完全平方式，就是对于一个整式如果存在另一个整式，使得，则称完全平方式．例如，，，则，均为完全平方式． (1)下列各式中是完全平方式的是 （只填序号）． ①；②；③；④ (2)将（1）中所选的完全平方式写成一个整式的平方的形式． (3)若是完全平方式，求的值． （平方差与几何） 例5：如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图矩形，这个图形的变化过程写出一个正确的等式(　　) A． B． C． D． 变式5-1：如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，另一边长为8，则 ． 变式5-2：从边长为a的正方形减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述过程所揭示的因式分解的等式是______； (2)若，，求的值； (3)． （完全平方与几何） 例6：如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．若长方形的面积是，则正方形和的面积之和为（    ）    A． B． C． D． 变式6-1：现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片4块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片 块．    变式6-2：（1）下图中的①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．小明用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积，发现了以下等量关系：________． （2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题： ①，，求和的值； ②已知，求的值． （整式混合运算） 例7：对于任意有理数a，b，现用★定义一种运算：．根据这个定义，代数式可以化简为（    ） A． B． C． D． 变式7-1：当时，代数式的值为 ． 变式7-2：计算 (1)； (2)； (3)先化简，再求值：，其中，． 过关检测 1、 选择题（共6题，每题4分） 1．下列各运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．若是完全平方式，则的值是（    ） A． B． C．6 D． 3．已知，，则的值为（    ） A．1 B．7 C．15 D．17 4．如图所示，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成