第03讲 导数题型全归纳（十一大题型）-2024年高二数学寒假衔接知识自学讲义（苏教版2019）

专题03 导数题型全归纳 【题型归纳目录】 【知识点梳理】 知识点1、恒成立问题 （1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； （9）对于任意的，使得； （10）对于任意的，使得； （11）若存在，总存在，使得 （12）若存在，总存在，使得． 知识点2、极值点偏移的相关概念 所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往．如下图所示． 图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移 极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏． 知识点3、破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 知识点4、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围． 求解步骤： 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数． 知识点5、利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． （4）对数单身狗，指数找基友 （5）凹凸反转，转化为最值问题 （6）同构变形 【典型例题】 题型一：构造函数解不等式问题 【例1】（2024·江苏南京·高二期末）设是定义在上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·宁夏银川·高二校考期末）已知是函数的导数，且，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·甘肃庆阳·高一校考阶段练习）已知是奇函数，是偶函数，它们的定义域都是，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【变式1-3】（2024·四川成都·高二校考阶段练习）函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型二：单调性问题 【例2】（2024·江苏·高二期末）已知函数. (1)若，求实数的值; (2)求函数的单调区间. 【变式2-1】（2024·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求a，b的值； (2)若，设函数，求的单调区间． 【变式2-2】（2024·江苏连云港·高二校考期末）已知，它们的图象在处有相同的切线． (1)求与的解析式； (2)若在区间上存在单调递增，求的取值范围． 【变式2-3】（2024·四川自贡·高二统考期末）已知函数． (1)若的单调递减区间为，求实数的值； (2)若函数在单调递减，求实数的取值范围． 题型三：极值问题 【例3】（2024·河南焦作·高二焦作市第一中学校考期末）已知函数 . (1)若，求函数的单调区间； (2)若在上存在极值，求的取值范围. 【变式3-1】（2024·陕西西安·高二校考期末）若函数在处有极值，则实数（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-2】（2024·安徽滁州·高二统考期末）已知存在唯一极小值点，则的范围