专题06 导数中的存在与恒成立问题热点突破讲义-2024届高三数学二轮复习

专题06 导数中的存在与恒成立问题 热点研究 专题热度 ★★★★☆ 命题热点 (1)存在与恒成立问题，既含自变量又含参变量． (2)与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、知识交汇点多等特点． 热门方法 分离参数法、数形结合法、最值法、构造法、一元二次方程根的判别式法、更换主元法． 热点题型 选择题、填空题、解答题． 热点突破 热点1 分离参数法 名师点拨 1．利用分离参数法来确定不等式,（,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤: (1)将参数与变量分离,即化为（或）恒成立的形式． (2)求在上的最大（或最小）值；若分离参数后，所求最值恰好在“断点处”，则可以通过洛必达法则求出“最值”． (3)解不等式(或) ,得的取值范． 2．重要结论 (1)≥f(x)恒成立⇔≥f(x)max；≤f(x)恒成立⇔≤f(x)min． (2)≥ f(x)能成立⇔≥f(x)min；≤f(x)能成立⇔≤f(x)max． 3．参变分离法的适用范围 (1)已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法． (2)要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题． 【例1】（2023•滨州二模）已知函数f（x）＝eax﹣2lnx﹣x2+ax，若f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C．（2e，+∞） D．（0，2e） 【答案】A 【分析】依题意可得eax+ax＞x2+2lnx＝e2lnx+2lnx，进而可得 在x∈（0，+∞）上恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性以及最值，即可求出参数的取值范围． 【解答】解：f（x）＞0等价于eax+ax＞x2+2lnx＝e2lnx+2lnx， 令函数g（x）＝ex+x，则g′（x）＝ex+1＞0，故g（x）是增函数， eax+ax＞e2lnx+2lnx等价于ax＞2lnx（x＞0），即， 令函数，则， 当x∈（0，e）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增； 当x∈（e，+∞）时，h（x）＜0，h（x）单调递减， 所以． 故实数a的取值范围为． 故选：A． 【例2】（2023•惠州模拟）已知，且ax＜sinx＜bx恒成立，则b﹣a的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由于对于原不等式变形为，从而构造函数，转化为求解f（x）在的最大值与最小值即可． 【解答】解：由已知有x＞0，对原不等式同时除以x，可得：， 构造，即求b﹣a的最小值即求f（x）在的最大值与最小值即可， ，令h（x）＝cosx•x﹣sinx，h′（x）＝﹣x•sinx， 因为，故h′（x）＜0恒成立，故h（x）在单调递减， 又因为h（0）＝0，故h（x）＜h（0）＝0，即f′（x）＜0在恒成立， 故f（x）在单调递减， 且x→0时，→1，当时，， 故b﹣a的最小值为， 故选：D． 【例3】（2023•禹王台区校级模拟）若存在x∈[1，+∞），使得关于x的不等式成立，则实数a的最小值为（　　） A．2 B． C．ln2﹣1 D． 【答案】D 【分析】由两边取对数可得（x+a）ln（1）≥1，令1t，则不等式可转化为（a）lnt≥1，即a，故根据题意可得求的最小值即可，令g（x），x∈（1，2]，通过求导可得g（x）的最小值即可得答案． 【解答】解：由两边取对数可得（x+a）ln（1）≥1①， 令1t，则x，因为x∈[1，+∞），所以t∈（1，2]， 则不等式①可转化为（a）lnt≥1， 又因为lnt＞0， 所以a，因为存在x∈[1，+∞），使得关于x的不等式成立， 所以存在t∈（1，2]，a成立，故求的最小值即可， 令g（x），x∈（1，2]， 所以g′（x）， 令h（x）＝（lnx）2﹣x2，x∈（1，2]， 所以h′（x）•（2lnx）﹣1， 令m（x）＝2lnx﹣x，x∈（1，2]， 所以m′（x）10， 所以m（x）在（1，2]上单调递减，所以m（x）＜m（1）＝0， 所以h′（x）＜0，所以h（x）在（1，2]上单调递减， 所以h（x）＜h（1）＝0，所以g′（x）＜0， 所以g（x）在（1，2]上单调递减，所以g（x）≥g（2）1，所以a1， 所以实数a的最小值为1． 故选：D． 热点2 切线法 名师点拨 把恒成立问题转化为直线与曲线的位置关系，通过直线与曲线相切求参数的临界值． 【例4】（2023•白山一模）若关于x的不等式2ex+x2﹣2ax≥3﹣a2恒成立，则a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，e]