专题05 构造函数求导热点突破讲义-2024届高三数学二轮复习

专题05 构造函数求导 热点研究 专题热度 ★★★★☆ 命题热点 (1)构造函数法是在求解某些数学问题时，根据问题的条件或目标，构想组合一种新的函数关系，使问题在新函数下转化并利用函数的有关性质（单调性、极值、最值等）解决原问题是一种行之有效的解题手段． (2)构造函数法解题是一种创造性思维过程，具有较大的灵活性和技巧性。在运用过程中，应有目的、有意识地进行构造，始终“盯住”要解决的目标，怎样合理的构造函数就是问题的关键． 热门方法 转化与化归、函数与方程思想． 热点题型 选择题，解答题中也经常用到． 热点突破 热点1 加减型:型 名师点拨 1．对于，构造． 2．对于，构造． 3．对于，则可构． 【例1】（2023•南昌一模）已知，，，则（　　） A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜a＜b 【答案】A 【分析】化简得，构造函数，通过导数可证得，可得a＜c，而，从而可得答案． 【解答】解：， 设，则有f'（x）＝cosx﹣1＜0， 所以f（x）单调递减，从而f（x）＜f（0）＝0， 所以，故，即a＜c， 而，故有a＜c＜b． 故选：A． 【例2】（2023•郫都区模拟）已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若f'（x）＜ex，且f（2）＝e2+2，则不等式f（lnx）＞x+2的解集是（　　） A．（0，e2） B．（0，2） C．（﹣∞，e2） D．（﹣∞，2） 【答案】A 【分析】设g（x）＝f（x）﹣ex，x∈R，根据已知条件得到函数g（x）在R上递减，且g（2）＝2，再把所求不等式转化即可求得结论． 【解答】解：设g（x）＝f（x）﹣ex，x∈R，则g′（x）＝f′（x）﹣ex， ∵f'（x）＜ex，∴g′（x）＝f′（x）﹣ex＜0，即函数g（x）在R上递减， 因为f（2）＝e2+2，所以g（2）＝f（2）﹣e2＝2， 因为g（x）＝f（x）﹣ex，可得g（lnx）＝f（lnx）﹣elnx＝f（lnx）﹣x， 由f（lnx）＞x+2得f（lnx）﹣x＞2，即g（lnx）＞g（2）， ∴lnx＜2，解得0＜x＜e2， 故选：A． 【例3】（2023•嘉定区校级三模）设函数y＝f（x），x∈R的导函数是f'（x），f（﹣x）+f（x）＝x2，当x＞0时，f'（x）＞x，那么关于a的不等式f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a的解是　 　． 【答案】（﹣∞，1]． 【分析】令g（x）＝f（x）x2，由g（﹣x）+g（x）＝0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是增函数，f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，即g（2﹣a）≥g（a），可得 2﹣a≥a，由此解得a的范围 【解答】解：令g（x）＝f（x）x2，则g（﹣x）＝f（﹣x）x2， 则g（x）+g（﹣x）＝f（x）+f（﹣x）﹣x2＝0，得g（x）为R上的奇函数， 当x＞0时，g'（x）＝f'（x）﹣x＞0，故g（x）在（0，+∞）单调递增， 再结合g（0）＝0及g（x）为奇函数，知g（x）在（﹣∞，+∞）为增函数， g（2﹣a）﹣g（a）＝f（2﹣a）（f（a））＝f（2﹣a）﹣f（a）﹣2+2a≥（2﹣2a）﹣2+2a＝0， 则g（2﹣a）≥g（a）等价于2﹣a≥a，解得a≤1，即a∈（﹣∞，1]． 故答案为：（﹣∞，1]． 热点2 乘积型: 与型 名师点拨 1．对于，构造． 2．对于，构造． 【例4】（2023•东方模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＞0，且有f（3）＝3，则f（x）＞3e3﹣x的解集为（　　） A．（3，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，3） D．（﹣∞，1） 【答案】A 【分析】构造函数F（x）＝f（x）ex，应用导数及已知条件判断F（x）的单调性，将f（x）＞3e3﹣x转化为F（x）＞F（3）即可得解． 【解答】解：设F（x）＝f（x）ex， 则F′（x）＝f′（x）ex+f（x）ex＝ex[f（x）+f′（x）]＞0， 所以F（x）在R上单增，又f（3）＝3，则F（3）＝f（3）•e3＝3e3， 所以f（x）＞3e3﹣x等价于f（x）ex＞3e3，即F（x）＞F（3）， 所以x＞3，即不等式的解集为（3，+∞）． 故选：A． 【例5】（2023春•济南期末）已知f（x）是定义在R上的函数，f′（x）是f（x）的导函数，若f′（x）+f（x）＞0，f（1），则的解集是（　　） A．（0，1） B．（0，e） C．（1，+∞） D．（e，+∞） 【答案】B 【分析】根据条件的结构特征构造函数g（x）＝exf（x），利用导数判断其单调性，然后将不等式变形成g（x1）＜g（x2）形式，结合已知可解． 【解答】解：记g（x）＝exf（x）， 则g′