专题04 导数在切线中的应用热线突破讲义-2024届高三数学二轮复习

专题04 导数在切线中的应用 热点研究 专题热度 ★★★★☆ 命题热点 (1)切线的相关问题． (2)公切线的相关问题． 热门方法 图象法、等价转化法、数形结合法． 热点题型 选择题、填空题，解答题中也时常出现． 热点突破 热点1 求切线 名师点拨 1．以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤 (1)求出函数f(x)的导数f′(x)． (2)求切线的斜率f′(x0)． (3)写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简． 2．以曲线外上的点(x1，y1)为切点的切线方程的求解步骤： (1)设出切点(x0，y0)． (2)解方程组得切点(x0，y0)． (3)进而确定切线方程． 【例1】（2023•新城区校级模拟）已知函数，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（　　） A．3x+2y﹣3＝0 B．3x﹣2y﹣3＝0 C．2x﹣3y﹣2＝0 D．2x﹣3y+2＝0 【答案】B 【分析】求出切点坐标，切点处的导数值，然后写出点斜式切线方程． 【解答】解：f（1）＝0，切点为（1，0）， f′（x），k＝f′（1）， 所以切线方程为y，即3x﹣2y﹣3＝0． 故选：B． 【例2】（2023•赣州二模）已知曲线y＝ex﹣m在x＝2处的切线与坐标轴围成的面积为，则m＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】求导，根据导数的几何意义求切线方程，进而求切线与坐标轴的交点，根据题意列式求解即可． 【解答】解：由题意可得：y＝ex﹣m，y'＝ex﹣m，则， 即切点坐标为（2，e2﹣m），斜率k＝e2﹣m，切线方程为y﹣e2﹣m＝e2﹣m（x﹣2）， 令x＝0，解得y＝﹣e2﹣m，即切线与y轴交点坐标为（0，﹣e2﹣m）； 令y＝0，解得x＝1，即切线与x轴交点坐标为（1，0）； 可得与坐标轴围成的面积，解得m＝1． 故选：A． 【例3】（2023•泸县校级模拟）曲线y＝x+cosx在x＝0处的切线方程为　 　． 【答案】y＝x+1． 【分析】求得函数y＝x+cosx的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得所求切线方程． 【解答】解：y＝x+cosx的导数为y′＝1﹣sinx， 可得曲线y＝x+cosx在x＝0处的切线斜率为1﹣0＝1， 切点为（0，1），则切线的方程为y＝x+1． 故答案为：y＝x+1． 热点2 求切点 名师点拨 已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k． 【例4】（2023•河南模拟）已知曲线y＝axex+lnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝3x+b，则（　　） A．a＝e，b＝﹣2 B．a＝e，b＝2 C．a＝e﹣1，b＝﹣2 D．a＝e﹣1，b＝2 【答案】C 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在点（1，ae）处的导数值，由斜率相等及切点在切线上列关于a，b的方程组求解． 【解答】解：由y＝axex+lnx，得y′＝aex+axex， 由题意，，解得a＝e﹣1，b＝﹣2． 故选：C． 【例5】（2023•迎泽区校级一模）f（x）＝ex的图像与直线y＝kx+2k相切，则k＝　 　． 【答案】． 【分析】根据题意，设切点的坐标为（a，b），求出函数f（x）的导数，由导数的几何意义分析可得切线的方程，结合题意可得，解可得a、b、k的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，y＝kx+2k与函数f（x）的图象相切，设切点的坐标为（a，b）， 函数f（x）＝ex，则有b＝ea，其导数f′（x）＝ex，则f′（a）＝ea； 则切线的方程为y﹣b＝ea（x﹣a），变形可得y＝eax﹣aea+b， 又由切线的方程为y＝kx+2k，则有，解可得b，a＝﹣1，k； 故答案为：． 【例6】（2023•重庆二模）已知f（x）＝ax2（a＞0）的图象在x＝1处的切线与函数g（x）＝ex的图象也相切，则该切线的斜率k＝　 　． 【答案】． 【分析】对f（x）求导，得f（x）在x＝1处的切线方程为y＝2ax﹣a，再对函数g（x）求导，设切点为（m，n），可建立关于m，n，a的方程组，解出后即可得到答案． 【解答】解：对函数f（x）＝ax2（a＞0），求导可得f′（x）＝2ax2， 则在x＝1处的切线的斜率为k＝2a， 又f（1）＝a，所以切线方程为y﹣a＝2a（x﹣1），即y＝2ax﹣a， 对函数g（x）＝ex，求导可得g′（x）＝ex，设切点为（m，n）， 则，解得，所以． 故答案为：． 热点3 由切线求参数 名师点拨 由导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上和切线的斜率等于该点处的导函数值构造方程组求解． 【例7】（2023•湖南模拟）已知函