专题03 函数图象与方程热点突破讲义-2024届高三数学二轮复习

专题03 函数图象与方程 热点研究 专题热度 ★★★☆☆ 命题热点 (1)常以基本初等函数为载体，主要考查函数图象的辨别、图象的变换、两函数交点的个数． (2)利用零点存在性定理判断零点是否存在以及零点所在区间、判断函数零点、方程根的个数，根据零点（方程根）的情况求参数的取值范围等． 热门方法 排除法、特殊值代入法、定量计算法、定性分析法、数形结合法、分离参数法． 热点题型 选择题、填空题． 热点突破 热点1 函数图象辨析 名师点拨 1．定性分析 (1)从函数的定义域、值域分析． (2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (3)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (4)从周期性，判断图象的循环往复． (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象． 2．定量计算 (1)从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． (2)根据图象找解析式，一般先找差异，再对具体图象的特征值验证． 【例1】（2023•东营二模）为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某位同学利用函数图像的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是（　　） A．f（x）＝x﹣sinx B．f（x）＝sinx﹣xcosx C． D．f（x）＝sinx+x3 【答案】B 【分析】先根据函数图象是中心对称图形排除C，求导分析单调性可排除AD． 【解答】解：因为函数图象是中心对称图形， 所以函数不可能是偶函数，排除C， 对于A，f'（x）＝1﹣cosx≥0，函数在R上单调递增，不符合题意，故A排除； 对于D，f'（x）＝cosx+3x2，当x∈（0，）时，f'（x）＞0；当x∈（，+∞）时，1，∴f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，不符合题意，故D排除． 故选：B． 【例2】（2023•江西模拟）函数的大致图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇偶性定义判断f（x）对称性，在x趋向+∞时f（x）的变化趋势，应用排除法，即可得答案． 【解答】解：∵f（x）定义域为{x|x≠0}， 又，∴f（x）为偶函数，排除D； 当x＞0时，，此时x趋向+∞，f（x）趋向+∞，排除A、C． 故选：B． 【例3】（多选）（2023•定远县校级模拟）函数的大致图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分别讨论a＝0，a＜0和a＞0时，函数的性质，利用数形结合进行判断即可． 【解答】解：当a＝0时，f（x）是偶函数，且函数的最大值为1，当x≥0时，f（x）为减函数，此时对应图象可能是D， 当a＜0时，f（x）为非奇非偶函数，f（0）＝1， 由f（x）＝0得x0，且x＜0时，f（x）＞0，此时对应图象可能是A． 当a＞0时，f（x）为非奇非偶函数，f（0）＝1， 由f（x）＝0得x0，且x＞0，f（x）＞0，此时对应图象可能是B． 故选：ABD． 热点2 函数图象的应用 名师点拨 根据实际背景、图象判断函数图象的方法 (1)根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)． (2)根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)． 【例4】（2023•历下区校级模拟）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M．将点M到直线OP的距离表示成x的函数f（x），则y＝f（x）在[0，π]的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过M作MD⊥OP于D，由题意得到PM＝|sinx|，OM＝|cosx|，由求出MD，即可得出函数解析式，从而可判断结果． 【解答】解：如图：过M作MD⊥OP于D，则由题意可得：PM＝|sinx|，OM＝|cosx|， 在Rt△OMP中，， 所以， 所以，其图象即为选项B． 故选：B． 【例5】（2023•武功县校级模拟）中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象能够将某个圆的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个圆的“优美函数”．则下列说法中错误的有（　　） A．函数可以是某个圆的“优美函数” B．函数 f（x）＝x3+x2+x+1可以是无数个圆的“优美函数” C．函数可以同时是无数个圆的“优美函数” D．若函数y＝f（x）是“优美函数”，则函数y＝f（x）的图象一定是中心对称图形 【答案】D 【分析】对于A，通过判断函数的奇偶性结合“优美函数”的定义判断，对于B，通过二次求导求出三次函数的对称中心，再结合“优美函数”的定义判断，对于C，