专题01 比较大小热点突破讲义-2024届高三数学二轮复习

专题01 比较大小 热点研究 专题热度 ★★★★☆ 命题热点 (1)利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性或图象比较大小． (2)构造复杂函数，利用导函数研究所构造的函数的单调性，再利用赋值比较大小． 热门方法 图象法、构造法、放缩法． 热点题型 选择题，解答题中往往也伴随着比较大小． 热点突破 热点1 利用单调性（或图象）比较大小 名师点拨 1．当底数或指数（真数）相同时，一般会求同存异，利用函数的单调性比较大小，同时注意结合图象． 2．当时，指数函数与对数函数在各自的定义域上均单调递增． 3．当时，指数函数与对数函数在各自的定义域上均单减． 【例1】（2023•沭阳县校级模拟）设1，那么（　　） A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa 【答案】C 【分析】先由条件结合指数函数的单调性，得到0＜a＜b＜1，再由问题抽象出指数函数和幂函数利用其单调性求解． 【解答】解：∵1且y＝（）x在R上是减函数．∴0＜a＜b＜1 ∴指数函数y＝ax在R上是减函数，∴ab＜aa ∴幂函数y＝xa在R上是增函数，∴aa＜ba，∴ab＜aa＜ba 故选：C． 【例2】（2023•秀英区校级三模）设，则a，b，c的大小顺序是（　　） A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a 【答案】A 【分析】先判断b＞1，再化a、c，利用幂函数的性质判断a、c的大小． 【解答】解：a1，b1，c1； 且01，y在（0，+∞）上是单增，所以，所以c＜a； 综上知，c＜a＜b． 故选：A． 【例3】（多选）（2023•河北三模）下列不等式成立的是（　　） A．0.30.7＜0.30.9 B．log1.33＞log1.32 C． D． 【答案】BC 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，逐个选项进行判断求解即可． 【解答】解：对于A，y＝0.3x为减函数，0.30.7＞0.30.9，故A错误； 对于B，y＝log1.3x为增函数，log1.33＞log1.32，故B正确； 对于C，0.30.2＜0.30＝1，log0.30.2＞log0.30.3＝1，故，C正确； 对于D，，，故，D错误． 故选：BC． 热点2 利用0、1比较大小 名师点拨 1．当底数和指数（真数）都不同时，一般采用特殊介质0，1进行大小比较，同时注意结合图象及特殊值． 2．因为幂指对函数的特殊性，往往比较大小，可以借助于临界值0与1比较大小． 3．，，． 【例4】（2023•青羊区校级模拟）设a＝log0.62，b＝log20.6，c＝0.62，则a，b，c的大小关系为（　　） A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c 【答案】C 【分析】通过比较三个数与0、1的大小关系即可得到答案． 【解答】解：∵log0.62＜log0.6log0.60.6﹣1＝﹣1，∴a＜﹣1， ∵0＝log21＞log20.6＞log20.5＝﹣1，∴0＞b＞﹣1， ∵0＜0.62＜0.60＝1．∴0＜c＜1，∴c＞b＞a． 故选：C． 【例5】（2023•西城区校级三模）设a＝30.7，，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【答案】D 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解． 【解答】解：∵30.8＞30.7＞30＝1，∴b＞a＞1， ∵log0.70.8＜log0.70.7＝1，∴c＜1，∴c＜a＜b． 故选：D． 【例6】（2023•沙坪坝区校级模拟）设a＝log20.3，b，c＝0.40.3，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性可得出：a＜0，b＞1，根据指数函数的单调性可得出0＜c＜1，然后即可得出a，b，c的大小关系． 【解答】解：∵log20.3＜log21＝0，，0＜0.40.3＜0.40＝1， ∴a＜c＜b． 故选：D． 热点3 取介质比较大小 名师点拨 1．估计比较大小的数所在的大致区间． 2．利用二分法、指对互化来找合适的中间值． 【例7】（2023•开封三模）设a＝log23，b＝log35，c，则（　　） A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【答案】C 【分析】可得出，，然后即可得出a，b，c的大小关系． 【解答】解：∵，， ∴b＜c＜a． 故选：C． 【例8】（2023•邹平市校级模拟）对于三个不等式：①sin1＜sin2；②log32＜log2；③e3＜π0（π≈3.14；e≈2.71）．其中正确不等式的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．