5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

5.4三角函数的图象与性质 第1课时 正弦函数、余弦函数的图象 第五章 三角函数 探究一：正弦函数的图象 我们已经学习了三角函数的定义，如何从定义出发研究这个正弦函数呢?类比已有的研究方法，可以先画出函数的图象，再通过观察图象的特征，获得函数性质的一些结论. 情境设置 问题1：设以在上任取一个值，如何利用正弦函数的定义来确定正弦函数值? 并画出点 . 2 探究一：正弦函数的图象 情境设置 问题2：设绘制新函数图像的基本方法是什么? 问题3：根据三角函数的定义，我们绘制正、余弦函数的图像需要绘制在整个定义域上的图像吗? 【解析】：列表，描点，连线. 自变量每增加(减少)，正弦函数值和余弦函数值将重复出现. 3 新知生成 知识点一 正弦曲线 1.正弦曲线：正弦函数的图象叫作___________． 2.正弦函数图象的画法 (1)几何法：①利用单位圆画出的图象；把轴上从到这一段分成等份，使的值分别为 正弦曲线 1 0 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 4 新知生成 知识点一 正弦曲线 ②将图象不断向左、向右平移(每次移动 2π 个单位长度)． 利用图象平移 6 o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  “波浪起伏”的连续光滑曲线． 5 新知生成 知识点一 正弦曲线 (2)五点法(五个关键点)：将五个关键点用光滑的曲线连接． y x o 1 -1 6 新知生成 知识点二 余弦曲线 1.余弦函数图象的画法 要得到函数，的图象，只需把函数，的图象向左平移个单位长度，即 y -1 x 1 π 2π 0 y=sinx y=cosx 7 新知生成 知识点二 余弦曲线 2.正余弦函数图象 x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  正弦函数的图象 余弦函数的图象 形状完全一样只是位置不同 8 新知生成 知识点二 余弦曲线 3.作余弦函数图象(五点作图)：五个关键点 y x 1 -1 o 9 一、正弦函数图象 例题1 用“五点法”作出函数的简图. 【解析】：第一步：列表，第二步：描点；第三步：连线 0 0 1 0 0 10 反思感悟 方法总结 描点法画正弦函数图象的关键： ①列表时，自变量的数值要适当选取； ②在函数定义域内取值； ③按由小到大的顺序取值； ④取的个数应分布均匀； ⑤应注意图形中的特殊点(如：端点、交点、顶点)； ⑥尽量取特殊角． 11 新知运用 跟踪训练1 利用“五点法”作出函数的简图． 【解析】:取值列表，描点，连线 0 0 1 0 0 1 0 1 2 1 12 二、余弦函数图象 例题2 用“五点法”作出函数的简图. 【解析】：第一步：列表，第二步：描点；第三步：连线 0 1 0 0 1 3 2 1 2 3 13 反思感悟 方法总结 作形如，的图象的三个步骤: 1.列表：在内先分别找出确定所求函数图象的五个关键点，在表中列出相应的五点坐标； 2.描点：根据列出的五个关键点的坐标，在坐标系中描出相应的点； 3.连线：用平滑的曲线将所描点的五个关键点连接起来，得到所求函数图象. 14 三、正余弦函数图象的应用 例题3 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的的集合． (1) ；(2)． 【解析】： (1) 作出正弦函数 ，的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的 的集合为 ． (2) 作出余弦函数 ，的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的的集合为 ． 15 反思感悟 方法总结 用三角函数图象解三角不等式的步骤: 1.作出相应的正弦函数或余弦函数在上的图象； 2.写出不等式在区间上的解集； 3.根据诱导公式写出定义域内的解集． 16 四、根据函数图象求范围 例题4 函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是________________． 【解析】： 由题意得，其图象如图所示,结合图象可知． 17 四、根据函数图象求范围 跟踪训练 (1)若方程 在上有解，则实数的取值范围是_________． (2) 在上，使 成立的取值集合是_________________． 【解析】： (1)由题意得， 由正弦函数的图象知，当 时， ，要使得方程 在上有解，则，故 ． (2) 画出在上的简图，如图所示．由图象可知，当 时， 或 ．所以在上，使 成立的的取值集合为 18 随堂检测 1.