（温故知新）第28章 锐角三角函数-2023-2024学年九年级数学上学期寒假学习精讲练（人教版）

2023-2024学年人教版数学九年级寒假学习精讲练讲义 第28章 锐角三角函数编者的话：同学们，寒假快乐，恭喜你在本学期取得满意的成绩。相信你对自己的学习能力和知识点掌握情况有了更新的认识和理解！本套资料为查漏补缺，温故旧知而设计，对知识点进行全面回顾复习，易错点逐个理解，强化练习常考易错真题。解析思路非常通俗易懂，也助你能够完全掌握、理解、运用单元知识点！ 知识点1：锐角三角函数 1.正弦、余弦、正切的定义 　　如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定： (1)sinA=，这个比叫做∠A的正弦. 　　 (2)cosA=，这个比叫做∠A的余弦. 　　(3)tanA=，这个比叫做∠A的正切. 细节剖析： 　　(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是 ，它只是一个 ，其大小只与 有关，而与所在 无关. 　　(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A三个 ，书写时习惯上省略符号 ， 　 　　但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC. 　　(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2. 　　(4)三角函数有时还可以表示成等. 2.锐角三角函数的定义 　　锐角A的 都叫做∠A的锐角三角函数. 细节剖析： 　　1. 函数值的取值范围 对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0. 　　2．锐角三角函数之间的关系： 　　余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°， 那么：sinA= ； cosA= 　　同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA= 　　3.30°、45°、60°角的三角函数值 ∠A 30° 45° 60° sinA cosA tanA 1 　　30°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练. 知识点2：解直角三角形 　　在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 　　解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图： 　　　　　　　　　　　 　　角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°； 　　边边关系：勾股定理，即； 　　边角关系：锐角三角函数，即 　　 细节剖析： 　　解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形： 　　(1)已知两条边( ；两直角边)； 　　(2)已知一条边和一个锐角( )．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边． 知识点3：解直角三角形的应用 　　解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 1. 解这类问题的一般过程 　　(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意 　　(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为 . 　　(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. 　　(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 　　2.常见应用问题 　　(1)坡度：； 坡角:. 　　　　　 　　(2)方位角： 　　　　　 　　(3)仰角与俯角： 　　　　　 细节剖析： 1．解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ，