第12讲 几个三角恒等式（四大题型）-2024年高一数学寒假衔接知识自学讲义（苏教版2019）

第12讲 几个三角恒等式 【题型归纳目录】 【知识点梳理】 知识点一：半角公式（以下公式只要求会推导，不要求记忆） ， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 知识点二：积化和差公式 知识点诠释： 规律1：公式右边中括号前的系数都有． 规律2：中括号中前后两项的角分别为和． 规律3：每个式子的右边分别是这两个角的同名函数． 知识点三：和差化积公式 知识点诠释： 规律1：在所有的公式中，右边积的系数中都有2． 规律2：在所有的公式中，左边都是角与的弦函数相加减，右边都是与的弦函数相乘． 规律3：在第三个公式中，左边是两个余弦相加，右边是两个余弦相乘，于是得出“扣（cos）加扣等于俩扣”；而第四个公式中，左边是两个余弦相减，右边没有余弦相乘，于是得出“扣减扣等于没扣”． 规律4：两角正弦相加减时，得到的都是正弦、余弦相乘． 注意 1、公式中的“和差”与“积”，都是指三角函数间的关系，并不是指角的关系． 2、只有系数绝对值相同的同名三角函数的和与差，才能直接应用公式化成积的形式．如就不能直接化积，应先化成同名三角函数后，再用公式化成积的形式． 3、三角函数的和差化积，常因采用的途径不同，而导致结果在形式上有所差异，但只要没有运算错误，其结果实质上是一样的． 4、为了能把三角函数的和差化成积的形式，有时需要把某些特殊数值当作三角函数值，如． 5、三角函数式和差化积的结果应是几个三角函数式的最简形式． 【典型例题】 题型一：积化和差与和差化积公式的应用 【例1】（2023上·全国·高一专题练习）求证： (1)； (2). 【变式1-1】（2023·全国·高一随堂练习）把下列各式化成积的形式： (1)； (2)； (3)． 【变式1-2】（2023下·辽宁葫芦岛·高一校联考阶段练习）已知． (1)利用三角函数的积化和差或和差化积公式，求的值； (2)求的值． 【变式1-3】（2022下·高一单元测试）在中，求证： (1)； (2). 题型二：应用半角公式求值 【例2】（2023上·高一课时练习）已知，α为第四象限角，求，，. 【变式2-1】（2021·高一课时练习）在△ABC中，若，，求，，的值. 【变式2-2】（2021·高一课时练习）已知，求，，的值． 【变式2-3】（2023·全国·高一随堂练习）已知，，求，，． 题型三：三角函数式的化简 【例3】（2023·全国·高一随堂练习）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3-1】（2023·全国·高一专题练习）化简求值 (1) (2)已知，，，，求. 【变式3-2】（2023·全国·高一课堂例题）化简： (1)； (2)，其中． 【变式3-3】（2020·高一课时练习）化简：． 题型四：恒等式的证明 【例4】（2021下·上海松江·高一统考期末）（1）已知角终边上有一点的坐标是，其中，求的值． （2）证明恒等式：． 【变式4-1】（2023下·上海奉贤·高一校考阶段练习）(1)证明恒等式： (2)化简： 【变式4-2】（2021·高一课时练习）证明： (1)； (2)． 【变式4-3】（2021·高一课时练习）证明： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【变式4-4】（2021下·高一课时练习）证明下列恒等式. （1）； （2）. 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·全国·高一专题练习）已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（2024·云南·高一校联考期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·甘肃酒泉·高一统考期末）求值：（    ） A．0 B． C．2 D． 4．（2024·河北保定·高一河北省保定市清苑区清苑中学校考阶段练习）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 5．（2024·全国·高一专题练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国·高一专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·全国·高一专题练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·全国·高一专题练习）函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 二、多选题 9．（2024·全国·高一专题练习）设函数，则下列结论正确的是（    ）． A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．在单调递减 10．（2024·江苏苏州·高一校考阶段练习）关于函数，则下列命题正确的是（    ） A．函数的最大值为3 B．点是函数的图象的一个对称中心 C．是函数的图象的一条对称轴 D．在区间上单调递增 11．（2024·吉林·高一吉林一中