精品解析：上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷

2023学年第一学期高二数学期末试卷 考试时间：90 满分：100 一、填空题（每题3分） 1. 若正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，则此正四棱柱的体积为___________. 2. 已知圆锥的底面半径为4,母线长为5,则该圆锥的侧面积为______． 3. 如图，是水平放置的斜二测直观图，若，，则的面积为__________. 4. 在边长为1的正方形中裁去一个如图所示的扇形，再将剩余的阴影部分绕旋转一周，则所得几何体的体积为______. 5. 已知等差数列的前n项和为，若，，则______. 6. 已知平面的一个法向量，直线的方向向量，则直线与平面所成角的正弦值为______. 7. 甲和乙两射手射击同一目标，命中的概率分别为0.7和0.8，两人各射击一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中目标的概率为________. 8. 等差数列中，若，，则的前10项和为________. 9. 已知数列的前项和为，则的通项公式为__________． 10. 数列的首项且对任意，恒成立，则______. 11. 设数列的前项和为，若，则______. 12. 我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高，这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形．类比利用祖暅原理求半球的体积的计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱和一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为______． 二、单选题（每题4分） 13. 下列条件中，能够确定一个平面的是（ ） A. 两个点 B. 三个点 C. 一条直线和一个点 D. 两条相交直线 14. 在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有（ ） ①A：“所取3件中至多2件次品”， B ： “所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有一件为次品”，B： “所取3件中有二件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”； A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④ 15. 已知，是不同的平面，，是不同的直线，则下列命题不正确的是（ ） A. 若，，，则 B 若，，则， C. 若，，则 D. 若，，则 16. 若等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为（    ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 二、解答题 17. 已知数列为等差数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和的最大值 18. 在直三棱柱中，，，，D是的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成的角. 19. 某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面半径相等，如图所示：圆锥无底面，圆柱无上底面有下底面，内部镂空，已知圆锥的母线长为20cm，圆柱高为30cm，底面的周长为. （1）求这种“笼具”的体积（结果精确到）； （2）现要使用一种纱网材料制作这样“笼具”保护罩（包括底面）50个，该保护罩紧贴包裹“笼具”，纱网材料（按实测面积计算）的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到0.1元） 20 一个盒子中装有张卡片，卡片上分别写有数字、、、．现从盒子中随机抽取卡片． （1）若一次抽取张卡片，事件表示“张卡片上数字之和大于”，求； （2）若第一次抽取张卡片，放回后再抽取张卡片，事件表示“两次抽取卡片上数字之和大于”，求； （3）若一次抽取张卡片，事件表示“张卡片上数字之和是的倍数”，事件表示“张卡片上数字之积是的倍数”.验证、是独立的． 21. 已知数列满足，． （1）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，若对于任意都满足成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第一学期高二数学期末试卷 考试时间：90 满分：100 一、填空题（每题3分） 1. 若正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，则此正四棱柱的体积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用柱体的体积公式可求得正四棱柱的体积. 【详解】正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，若正四棱柱的底面边长为，侧棱长为， 则