山东省泰安市新泰市第一中学东校2023-2024学年高二上学期竞赛冬季学科竞赛数学试题

新泰一中东校2023-2024高二上学期冬季学科竞赛 数学试题 一、单选题 1．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）． A．4 B．5 C．6 D．7 2．若直线的斜率为1，则实数的值为（    ） A．1或2 B．-1或-2 C．-1或2 D．1或-2 3．数列满足，则数列的前2022项的乘积为（    ） A． B． C． D．1 4．如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．年月日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山.”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基.某市为了改善当地生态环境，年投入资金万元，以后每年投入资金比上一年增加万元，从年开始每年投入资金比上一年增加，到年底该市生态环境建设投资总额大约为（    ）（其中，，） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 6．设点，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积为k，对于结论： ①当时，点M的轨迹方程为；②当时，点M的轨迹方程为 ③当时，点M的轨迹方程为. 其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．在三棱锥中，两两垂直，且，三角形重心为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 8．已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点，，，若，满足，，且，则（    ）． A．6 B．4 C．3 D．2 二、多选题 9．设为数列的前项和.若，则（    ） A． B． C． D．数列为递减数列 10．已知圆：，直线：，则（    ） A．直线与圆的轨迹一定相交 B．直线与圆交于两点，则的最大值为 C．圆上点到直线距离的最大值为 D．当时，则圆上存在四个点到直线的距离为1. 11．已知点是椭圆上一点，为其左、右焦点，且△的面积为3，则下列说法正确的是（    ） A．P点到轴的距离为 B． C．△的周长为 D．△的内切圆半径为 12．如图，已知正方体的棱长为2，点，在平面内，若，，则下述结论正确的是（    ） A．点的轨迹是一个圆 B．点的轨迹是一个圆 C．的最小值为 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题 13．已知空间向量则向量在向量上的投影向量的坐标是 . 14．已知直线与圆交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若，则梯形ABDC面积为 . 15．已知为等比数列，且，，，为其前项之积，若，则的最小值为 . 16．已知A为双曲线的左顶点，F为双曲线C的右焦点，以实轴长为直径的圆交其中一条渐近线于点P（点P在第二象限），PA平行于另一条渐近线，且，则 . 四、解答题 17．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)求直线的方程． 18．已知圆心为的圆被直线截得的弦长为． (1)求圆N的方程； (2)点与点C关于直线对称，求以C为圆心且与圆N外切的圆的方程． 19．西部某地为了贱行“绿水青山就是金山银山”，积极改造荒山，进行植树造林活动，并适当砍伐一定林木出售以增加群众收入，当地2022年年末有林场和荒山共2千平方公里，其中荒山1.5千平方公里，打算从明年(2023年)起每年年初将上年荒山(含上年砍伐的林区面积)的16%植树绿化，年末砍伐上年年末共有林区面积的4%以创收.记2023年为第一年，为第n年末林区面积(单位:千平方公里). (1)确定与的递推关系(即把，用表示) (2)证明:数列是等比数列，并求； (3)经过多少年，该地当年末的林区面积首次超过1.2千平方公里？ (参考数据:) 20．已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合. (1)求抛物线的方程； (2)若直线：交抛物线于A、B两点，O为原点，求证：以为直径的圆经过原点O. 21．如图所示，在三棱锥中，侧棱平面BCD，F为线段BD中点，，，. （1）证明：平面ABD； （2）设Q是线段AD上一点，二面角的正弦值为，求的值. 22．在平面直角坐标系中，已知抛物线：，为其焦点，点的坐标为，设为抛物线上异于顶点的动点，直线交抛物线于另一点，连接，并延长分别交抛物线于点. (1)当轴时，求直线与轴交点的坐标; (2)当直线的斜率存在且分别记为，时，求证：. 新泰一中东校2023-2024高二上学期冬季学科竞赛 数学参考答案 1、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1