专题6.2 排列与组合【十大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题6.2 排列与组合【十大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 有关排列数的计算与证明】 2 【题型2 排列数方程和不等式】 3 【题型3 元素（位置）有限制的排列问题】 3 【题型4 相邻问题的排列问题】 4 【题型5 不相邻排列问题】 5 【题型6 有关组合数的计算与证明】 6 【题型7 组合数方程和不等式】 7 【题型8 组合计数问题】 8 【题型9 分组分配问题】 8 【题型10 排列、组合的综合问题】 9 【知识点1 排列与排列数】 1．排列 (1)排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列概念的理解 ①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列. ②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同. ③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断， 这一点要特别注意. (3)排列的判断 判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任 取m(mn，n,m∈)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关 的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有 变化，就与顺序无关，就不是排列问题. 2．排列数 (1)排列数定义 从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的排列数，用符号表示. (2)排列数公式 =n(n-1)(n-2)(n-m+1).这里，n,m∈，并且mn. (3)排列数公式的理解 ①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有n种排法；第2步，排第2个位置的元 素，有(n-1)种排法；第3步，排第3个位置的元素，有(n-2)种排法；；第m步，排第m个位置的元素，有(n-m+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有=n×(n-1)×(n-2)××(n-m+1)种不同的排法. ②排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数. 3．全排列和阶乘 (1)全排列 特别地，我们把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中m=n， 即有=n×(n-1)×(n-2)××3×2×1. (2)阶乘 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示将n个不同的元素全部取出的排列数可以写成=n!， 规定0!=1. (3)排列数公式的阶乘表示 ==. 【题型1 有关排列数的计算与证明】 【例1】（2023·全国·高二课堂例题）求证：. 【变式1-1】（2023上·高二课时练习）计算： (1)； (2)． 【变式1-2】（2023下·江苏扬州·高二统考期中）计算： (1)； (2). 【变式1-3】（2023下·高二课时练习）求证： (1)； (2)． 【题型2 排列数方程和不等式】 【例2】（2023下·新疆和田·高二校考期末）已知，则x等于（       ） A．6 B．13 C．6或13 D．12 【变式2-1】（2023下·高二课时练习）不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·全国·高二专题练习）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·全国·高二专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型3 元素（位置）有限制的排列问题】 【例3】（2023·河南开封·统考一模）现要从6名学生中选4名代表班级参加学校的接力赛，已知甲确定参加比赛且跑第1棒或第4棒，乙不能跑第1棒，则合适的选择方法种数为（    ） A．84 B．108 C．132 D．144 【变式3-1】（2023·四川乐山·统考一模）“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相同，若中间空格已填数字4，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（   ） 4 A．70 B．120 C．140 D．144 【变式3-2】（2023上·浙江·高三校联考期中）今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（    ） A．18 B