专题06 平面向量-【中职专用】2024年中职高考数学二轮复习专项突破（全国通用）

专题06 平面向量 知识建构 自检自测 1. 向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0　. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行. (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形 法则 平行四边形 法则 (1)交换律： a＋b＝ b＋a　； (2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)　 减法 向量a加上向量b的 相反向量 叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b 三角形 法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 实数λ与向量a的积是一个 向量 记作λa (1)模：|λa|＝|λ||a| ； (2)方向： 当λ>0时，λa与a的方向 相同 ； 当λ<0时，λa与a的方向 相反 ； 当λ＝0时，λa＝0 设λ，μ是实数． (1) λ(μa)　＝(λμ)a (2)(λ＋μ)a＝ λa＋μa　 (3)λ(a＋b)＝ λa＋λb　. 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使 b＝λa　. 4. 平面向量的基本定理、平面向量的坐标表示 如果e1，e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝ λ1e1＋λ2e2　. 在直角坐标系内，分别取与 x轴，y轴正方向相同 的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj， (x，y) 叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝ (1,0) ，j＝(0,1)，0＝ (0,0) . 5.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ，λa＝ (λx1，λy1) ，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ (x2－x1，y2－y1) ，||＝ 　. 6.向量共线的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 . 7. 中点坐标公式 若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式. 8.向量的夹角 两个非零向量a与b，过O点作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角；范围是 [0，π]　. a与b的夹角为 　时，则a与b垂直，记作a⊥b. 9.平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ |a||b|cos θ　，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 10.平面向量数量积的性质及其坐标表示 (1)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． ①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝ x1x2＋y1y2 . ②模：|a|＝＝ 　. ③设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝. ④夹角：cos θ＝ 　＝. ⑤已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0． (2)平面向量数量积的运算律 ①a·b＝b·a(交换律)． ②λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 常见题型 1. 向量相等、向量共线 2. 向量加减法运算律的应用 3. 向量的线性运算 4. 共线向量定理及其应用 5. 平面向量坐标的基本运算 6. 向量平行(共线)的判定． 7. 三点共线的判定及应用． 8. 平面向量数量积的运算 9. 利用数量积解决求模问题 10. 两向量的夹角和垂直问题 考点突破 考点一 向量的概念 例1．给出下列命题： (1)平行向量的方向一定相同； (2)向量的模一定是正数； (3)始点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量； (4)若向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上． 其中正确的序号是__ __. 例2．若向量与向量不相等，则与一定（　　） A．不共线 B．长度不相等 C．不都是