热点专题：结构不良试题之解析几何 专题-2024届高三数学一轮复习

热点专题：结构不良试题之解析几何 一.多个条件中选出适当的条件求圆锥曲线方程 例1.给出下列条件：①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上纵坐标为l的点到其焦点的距离等于2；④抛物线的准线方程为． （1）对于顶点在原点的抛物线：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线的方程是，并说明理由； （2）经过点的动直线与抛物线交于两点，在轴上是否存在定点使得？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 二.选出其中一个探究定值或存在性问题 例2.已知抛物线C：的焦点为F，点，且． (1)求抛物线C的方程； (2)过点Q作直线l交C于A，B两点，O为原点，过点A作x轴的垂线，分别与直线，交于点D，E，从下面①②两个问题中选择一个作答． ①问：是否为定值，并说明理由； ②问：在直线上是否存在点M，使四边形为平行四边形，并说明理由． 变式练习：已知抛物线. (1)直线与交于、两点，为坐标原点. 从下面的①②两个问题中任选一个作答，如果两个都作答，则按所做的第一个计分. ①证明：. ②若，求的值； (2)已知点，直线与交于、两点（均异于点），且.过作直线的垂线，垂足为，试问是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定值；若不存在，说明理由. 三、选出其中一个条件进行证明 例3.已知椭圆经过点，且焦距，线段分别是它的长轴和短轴． (1)求椭圆E的方程； (2)若是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线经过定点． ①，直线与椭圆E的另一交点分别为P，Q； ②，直线与椭圆E的另一交点分别为P，Q． 四、多个条件中任选一个探究动态问题 例4:在平面直角坐标系xOy中： ①已知点A(，0)，直线l：x＝，动点P满足到点A的距离与到直线l的距离之比为； ②已知圆C的方程为x2＋y2＝4，直线l为圆C的切线，记点A(，0)，B(－，0)到直线l的距离分别为d1，d2，动点P满足|PA|＝d1，|PB|＝d2； ③点S，T分别在x轴，y轴上运动，且|ST|＝3，动点P满足＝＋. (1)在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹方程； (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) (2)记(1)中的轨迹为E，经过点D(1，0)的直线l′交E于M，N两点，若线段MN的垂直平分线与y轴相交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围. 五.选取两个作为条件，证明另外一个条件成立 例5:已知双曲线：，点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C的左、右顶点，直线与y轴交于点D，点Q在x轴正半轴上，点E在y轴上. (1)若点，，过点Q作BM的垂线l交该双曲线C于S，T两点，求的面积； (2)若点M不与B重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①；②；③.注:若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$热点专题：结构不良试题之解析几何 一.多个条件中选出适当的条件求圆锥曲线方程 例1.给出下列条件：①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上纵坐标为l的点到其焦点的距离等于2；④抛物线的准线方程为． （1）对于顶点在原点的抛物线：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线的方程是，并说明理由； （2）经过点的动直线与抛物线交于两点，在轴上是否存在定点使得？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）选②③， 因为抛物线的方程是，则抛物线的焦点在y轴上，故①不能选，选②， 准线方程为，故不能选④， 抛物线上纵坐标为l的点A到其焦点的距离等于1+1=2，故选③， 所以选②③时，抛物线的方程是； （2）由题意可知，直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为， ， 联立，得，则有， 若，则，即，整理得， 即，所以， 即，即，所以，解得， 即，所以存在，点R的坐标为. 二.选出其中一个探究定值或存在性问题 例2.已知抛物线C：的焦点为F，点，且． (1)求抛物线C的方程； (2)过点Q作直线l交C于A，B两点，O为原点，过点A作x轴的垂线，分别与直线，交于点D，E，从下面①②两个问题中选择一个作答． ①问：是否为定值，并说明理由； ②问：在直线上是否存在点M，使四边形为平行四边形，并说明理由． 【解析】（1）由题设，则，， 又，故，整理得， 由，则，即. 所以抛物线C的方程. （2）显然直线斜率存在且不为0，令为，又，即在抛物线上， 联立抛物线有：，且，即或， 所以， 直线为，直线为，又过A作x轴的垂线为，， 所以，， 选①：为定值. 选②：由①知：为的中点， 当，，且，即为的中点， 此时，四边形为平行四边形，所以存在点M，使四边形为平行四边形. 变式练习2：已知抛物线. (1)直线与交于、两点，为坐标原点. 从下面的①②两个问题中任选一个作答，如果两个都作答，则按所做的第一个计