第06讲 6.3.1平面向量基本定理（知识清单+5类热点题型精讲+强化分层精练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第06讲 6.3.1平面向量基本定理 课程标准 学习目标 ①理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义。 ②掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量。 ③会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题。 ④能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角。 ⑤能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件。 1.在课本知识学习的基础上，加上初中阶段对数轴的理解，以及物理知识中里的分解的知识，进一步理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义； 2.掌握平面向量基本定理，不仅仅局限在直角坐标系，更应该学会用基底表示平面向量； 3.在掌握基础知识的基础上，学会学习致用，会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题； 知识点01：平面向量基本定理 （1）平面向量基本定理 如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使. 若,不共线,我们把,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. （2）对平面向量基本定理的理解 (1)这个定理告诉我们,平面内任意两个不共线向量都可以作为基底,一旦选定一组基底,则平面内的任一向量都可用该组基底唯一表示. (2)对于确定的基底,,同一向量的分解式是唯一的,不同向量的分解式是不同的. (3)同一个非零向量在不同的基底下分解式是不同的,零向量的分解式是唯一的,即,且. (4)这个定理可推广为:平面内任意三个不共线的向量中,任何一个向量都可表示例示为其余两个向量的线性组合,且形式唯一. 知识点02：平面向量基本定理的有关结论 （1）设,是平面内一组基底，若，当时，与共线；当时，与共线；当时，，同样的时，. （2）设是同一平面内的两个不共线的向量，若，则. 题型01 基底的概念及辨析 【典例1】（2023下·高一课时练习）已知向量，不共线，则下列向量不可以作为一组基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【典例2】（多选）（2023下·安徽阜阳·高一校考阶段练习）设是平面内两个不共线的向量，则以下可作为该平面内一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2022下·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）设是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2】（多选）（2022下·广西北海·高一统考期末）如图所示，设是平行四边形的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型02 用基底表示向量 【典例1】（2023·全国·模拟预测）在中，点D，E分别是，的中点，记，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·湖南·校联考模拟预测）在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点.设，，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2023下·河北石家庄·高一校考期中）已知平行四边形中，，若，则（    ） A． B． C．2 D． 【变式1】（2023上·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）在中，为边上的中线，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023上·河北保定·高三统考阶段练习）如图，在平行四边形中，是的中点，和相交于点． 记 ，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式3】（2023上·山西朔州·高三校考开学考试）如图，在中，设，，，，则（    ）    A． B． C． D． 题型03 用平面向量基本定理求参数 【典例1】（2023上·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，，且，则（    ）. A． B． C． D． 【典例2】（2023上·河北沧州·高三校联考期中）如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【典例3】（2023下·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）在中，D是的中点，E在边上，，与交于点O， (1)设，求的值； (2)若，求的值． 【变式1】（2023·广东汕头·校考一模）在平行四边形中，为的重心，满足，则（    ） A． B． C．0 D． 【变式2】（2023上·辽宁大连·高三大连八中校考期中）在三角形ABC中，点D是AB边上的四等分点且，AC边上存在点E满足，直线CD和直线BE交于点F，若，则的值为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】（2023下·新疆喀什·高一统考期末）已知中，D为的中点，，若，则 . 题型04 平面向量基本定理的综合应用 【典例1】（2023上·北京·高三101中学