第六章 三角（6大知识归纳+9大题型突破）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（沪教版2020必修第二册）

第六章 三角 （知识归纳+题型突破） 一、 角的概念的推广与弧度制 1、正角、负角、零角： 正角：一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的； 负角：一条射线绕端点按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的. 零角：当一条射线没有旋转时，称为零角. 零角的始边与终边重合. 【小结】这样，我们可将角的概念推广到任意角，包括正角、负角与零角，也包括超过的角. 2、象限角和轴线角 （1）为了便于研究角及与其相关的问题，可将角置于平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的正半轴重合，此时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限. 如图，和都是第一象限角，和都是第二象限的角. （2）当角的终边在坐标轴上时，就说这些角不属于任一象限，这种角称为轴线角. 3、终边相同的角 我们把所有所有与角终边重合的角（包括角本身）的集合表示为 . 【小结】①终边在轴正半轴上的角的集合为； ②终边在轴负半轴上的角的集合为； ③终边在轴上的角的集合为； ④终边在轴上的角的集合为； ⑤终边在坐标轴上的角的集合为； ⑥第二象限角的集合为. 【注意】后缀表示射线，表示直线. 二、角的度量 1、角度制 在平面几何中，我们把周角的作为1度，用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制. 2、 弧度制 （1）把弧长等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad. 用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 一般地说，如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长为，那么就是角的绝对值，即 ， 这里的符号由它的始边旋转至终边的方向决定【逆正顺负】. 【注意】对于角，以顶点为圆心，分别以为半径画弧和，它们的长分别为和，则，因此一个角的弧度数仅与角的大小有关，而与所取弧的半径无关. 【心得】这种定义法我们称之为比值定义法，跟初中物理中类似. （2）在弧度制下，每个角都是一个确定的实数，而每个实数也可以表示一个确定的角，因此在角的集合与实数集合之间建立起一种一一对应的关系. 【注意】在用弧度制表示角时，通常省略“弧度”两字，只写这个角所对应的弧度数. 例如，角和角的互补关系可以表示为，而则表示弧度的角的正弦. （3）角度与弧度的换算：弧度 弧度，弧度 （4）应熟记一些常用特殊角的角度和弧度的对应关系 角度 弧度 （5）象限角的表示： 第一象限的角的集合： 第二象限的角的集合： 第三象限的角的集合： 第四象限的角的集合： 【注意】角度和弧度不可混用，如“”和“”的写法都是不妥当的. （6）弧长公式和扇形面积公式 引入弧度制使得扇形的弧长和面积公式变得简洁漂亮. 当扇形的圆心角为，半径为时，扇形的弧长和面积的公式分别为及. 在使用弧度制后，圆心角相应的弧度为，因此上述公式可分别简化为 扇形的弧长， 扇形的面积. 二、任意角的正弦、余弦、正切、余切 1、定义 在任意角的终边上任取异于原点的一点， 设其坐标为，并令，必有. 这样，就可以分别定义角的正弦、余弦、正切及余切为 ， ， （），（）. 2、任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号 【注意】任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号：一全二正弦，三切四余弦 3、单位圆 根据定义，角的正弦、余弦、正切及余弦值仅与角的大小有关，而与角的终边上的点的位置无关，因此我们可以用角的终边上到原点距离为1（）的点来确定角的正弦、余弦、正切及余切值. 半径为1个单位的圆称为单位圆. 本章中，如无特别说明，单位圆通常指在平面直角坐标系中以坐标原点为圆心，以1为半径的圆. 设角的终边与单位圆的交于唯一的一点，则根据定义可知， ，. 因此，单位圆上点的坐标必可以写为（）. 三、同角三角关系 1、同角三角关系 角的终边经过异于原点的一点，并记. 由定义，有，，（），（）. 由，就有 . 当时，有 . 当时，有 . 当、都有意义时，有 . 2、常用转化 (1)sin2α＋cos2α＝1⇒ (2)对只含有sin α，cos α的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入. (3)对于形如或的分式，分子、分母同时除以cos α，cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值. (4)对于形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变