专题1.13 角平分线（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.13 角平分线（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】角平分线的性质定理 1.性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 角的平分线的性质的两个必要条件： （1） 点在角平分线上； （2） 这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度.两者缺一不可. 2. 几何语言 ∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∴PD=PE. 特别提醒： 1.角平分线的性质是由两个条件（角平分线，垂线）得到一个结论（线段相等）. 2.利用角的平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”，而不是“垂直于角平分线的线段”. 【知识点二】角平分线的判定定理 1.判定定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 2.几何语言 如图 ∵点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上. 3.角的平分线的判定定理与性质定理的关系 （1） 如图，都与距离有关，即条件PD⊥OA，PE⊥OB都具备； （2） 都在角的平分线上判定点、性质点（角的内部的）到角的两边的距离相等. 特别提醒 1.使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部 2.角的平分线的判定是由两个条件（垂线、线段相等）得到一个结论（角平分线）. 3.角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据，它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷. 【知识点三】三角形的角平分线性质定理 1.性质定理 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 2.几何语言 如图，在△ABC中，AD,BM,CN分别是∠BAC,∠ABC，∠ACB的平分线，AD,BM,CN交于一点O，且点O到三边BC,AB,AC的距离（OE,OG,OF的长）相等，即OE=OG=OF. 特别解读 三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等.反之，三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点. 【考点目录】 【角平分线的性质】 【考点1】利用角平分线的性质求值； 【考点2】利用角平分线的性质证明； 【角平分线的判定】 【考点3】利用角平分线的判定证明和求值； 【角平分线的性质与判定】 【考点4】利用角平分线性质与判定求值； 【考点5】利用角平分线的性质与判定证明； 【角平分线的性质与判定的应用】 【考点6】利用角平分线的性质与判定的应用. 【角平分线的性质】 【考点1】利用角平分线的性质求值； 【例1】（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）于，于，若，． （1）求证：平分． （2）请你判断、与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的判定等知识， （1）证明，得出，再由角平分线的判定即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得，，再证，得，即可解决问题． 解：（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ，， 平分． （2）解：，理由如下： 由（1）可知，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ． 【变式1】（2024上·甘肃武威·八年级校考期末）如图，为的角平分线，，，点P，C分别为射线，上的动点，则的最小值是（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的性质，直角三角形30度角的性质，最短路径问题，正确掌握角平分线的性质定理是解题的关键．过点B作于D，交于P，过P作于C，此时的值最小，根据角平分线的性质得到，，由此得到，利用直角三角形30度角的性质得到的长，即可得到答案． 解：过点B作于D，交于P，过P作于C，此时的值最小， ∵为的角平分线，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：A．    【变式2】（辽宁省锦州市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）在平面直角坐标系中，A是x轴上一点，以原点O为圆心，以长为半径画弧交y轴于点B，再分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点C．若点C的坐标为，则 ． 【答案】4或 【分析】本题考查作图角平分线的基本作图、坐标与图形，角平分线性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据题意得到点C到两坐标轴的距离相等，然后列出方程求解即可． 解：根据题意可得，点C是的角平分线 ∴点C到两坐标轴的距离相等 ∵点C的坐标为， ∴ ∴或 解得或． 故答案为：4或． 【考点2】利用角平分线的性质证明； 【例2】（2023上·广东广州·八年级广州四十七中校考期中）如图，四边形中，，点E为上一点，平分，且平分． （1）求证：；