专题1.13 角平分线（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.13 角平分线（知识梳理与考点分类讲解）

【知识点一】角平分线的性质定理

1.性质定理  角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

角的平分线的性质的两个必要条件：

（1）点在角平分线上；

（2）这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度.两者缺一不可.

2.      几何语言

∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∴PD=PE.

特别提醒：

1.角平分线的性质是由两个条件（角平分线，垂线）得到一个结论（线段相等）.

2.利用角的平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”，而不是“垂直于角平分线的线段”.

【知识点二】角平分线的判定定理

1.判定定理  在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.

2.几何语言 如图

     

 

∵点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，

∴点P在∠AOB的平分线OC上.

3.角的平分线的判定定理与性质定理的关系

（1）如图，都与距离有关，即条件PD⊥OA，PE⊥OB都具备；

（2）都在角的平分线上判定点、性质点（角的内部的）到角的两边的距离相等.

特别提醒

1.使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部

2.角的平分线的判定是由两个条件（垂线、线段相等）得到一个结论（角平分线）.

3.角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据，它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷.

【知识点三】三角形的角平分线性质定理

1.性质定理  三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.

2.几何语言

如图，在△ABC中，AD,BM,CN分别是∠BAC,∠ABC，∠ACB的平分线，AD,BM,CN交于一点O，且点O到三边BC,AB,AC的距离（OE,OG,OF的长）相等，即OE=OG=OF.

特别解读

三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等.反之，三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.

【考点目录】

【角平分线的性质】

【考点1】利用角平分线的性质求值；         

【考点2】利用角平分线的性质证明；         

【角平分线的判定】

【考点3】利用角平分线的判定证明和求值；         

【角平分线的性质与判定】

【考点4】利用角平分线性质与判定求值；         

【考点5】利用角平分线的性质与判定证明；         

【角平分线的性质与判定的应用】

【考点6】利用角平分线的性质与判定的应用.         

【角平分线的性质】

【考点1】利用角平分线的性质求值；         

【例1】（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）于，于，若，

．

（1）求证：平分．

（2）请你判断、与之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）见分析；（2）

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的判定等知识，

（1）证明，得出，再由角平分线的判定即可得出结论；

（2）由全等三角形的性质得，，再证，得，即可解决问题．

解：（1）证明：，，

，

在和中，

，

，

，，

平分．

（2）解：，理由如下：

由（1）可知，，

，，

在和中，

，

，