专题16.9 二次根式的加减（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题16.9 二次根式的加减（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】同类二次根式 1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 特别提醒： 　　(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同； 　　(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 2.合并同类二次根式 　　合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 特别提醒： 　　(1)根号外面的因式就是这个根式的系数； 　　(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式. 【知识点二】二次根式的加减 一般地，二次根式进行加减运算时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 特别提醒 合并二次根式的方法与合并同类项类似，将根号外的因式或因式相加，将更好歪的因数或因式相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是分配律和逆向运用. 【知识点三】二次根式加减运算方法 将各个二次根式化为最简二次根式，找出化简后被开方数相同的二次根式，将其合并.若有括号，则先去掉括号再运算.另外，有理数的加法交换律、结合律都适用于二次根式的运算. 【知识点四】二次根式的混合运算 1.内容： 二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 2.运算顺序：二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方，在乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去掉括号）. 特别提醒 二次根式运算时的注意事项： （1）结果要化为最简二次根式或整式. （2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. （3）若分子为多项式，则去分母线时要加括号. 【知识点五】与二次根式相关运算方法 二次根式的运算顺序同实数的运算顺序一样，都是从高级到低级进行运算，有括号的先算括号里的.有时可用一些方法技巧简化运算. 【知识点六】二次根式大小比较方法 1.平方法：若两个二次根式同号，则可先将两个二次根式分别平方，再根据比较实数的大小方法比较即可.如当a＞0，b＞0时，若＞，则a＞b. 2.比较被开方数法：先把根号外的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数，在比较被开方数的大小，被开方数大的，其算术平方根也大. 3.作商法：同号两数相除，比较商与1的大小，如当a，b都是正数时，①若 ＞1，则 a＞b；若=1，则a=b；③若＜1，则a＜b. 4.倒数法：若（+）（）=1则（+）与（）为倒数.因此比较大小时，可把（）转化为，从而转化为分母大小的比较. 【考点目录】 【概念理解与巩固】 【考点1】同类二次根式； 【考点2】分母有理化 【运算与化简】 【考点3】二次根式的加减运算； 【考点4】二次根式的求值与化简； 【考点5】二次根式的大小比较； 【应用】 【考点6】二次根式的应用 【概念理解与巩固】 【考点1】同类二次根式； 【例1】（2023下·吉林松原·八年级校联考期中）是否存在实数，使最简二次根式与是同类二次根式？若存在，求出的㨁；若不存在，请说明理由． 【答案】不存在．理由见分析． 【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列出方程求出的值，再把的值代入原式看是否符合题意即可． 解：不存在．理由如下： 若与是同类二次根式，则， 解得：，当时，， 与都不是最简二次根式． 故不存在实数，使最简二次根式与是同类二次根式． 【点拨】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 【变式1】（2023上·河南驻马店·九年级校考阶段练习）下列能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次根式的性质将各项化简为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义即可解答； 解：A、∵是整数， ∴不能与合并，故A项不符合题意； B、∵ ∴能与合并，故B项符合题意； C、∵ ∴不能与合并，故C项不符合题意； D、∵ ∴不能与合并，故D项不符合题意； 故选：B． 【点拨】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式的定义，同类二次根式的定义，熟记二次根式的性质是解题的关键． 【变式2】（2023上·四川眉山·九年级校考阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】0 【分析】根据二次根式的定义化简得，由此得到，求出a与b的值即可． 解：∵是二次根式， ∴ ∴， 解得， ∴ 故答案为0． 【点拨】此题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义，解二元一次方程组，已知字母的值求代数式的值，正确掌握同类二次根式的定义得到方程组是解题的关键． 【考点2】分母有理化