第6章《三角》教材解读【倍角公式、和差与积互相化等三角变换】讲义-2023-2024学年高一数学沪教版（2020）必修第二册

【原卷版】 倍角公式、和差与积互相化等三角变换 【沪教版2020】数学 必修 第二册 教材解读 在平面几何中我们已经知道，在一个三角形中，大角对大边，但这只是一个关于边与角之间关系的定性性质；为了定量地刻画三角形的边与角之间的关系，为测量、航海及天文等方面的实际应用提供依据，需要引入一个角的正弦、余弦、正切、余切等概念，建立三角学的基本理论；在初中，当一个角为锐角时， 已经对有关的概念及结论做了初步的讨论，并介绍了求解直角三角形的方法及其应用；本章将拓展角的概念，并对一个任意给定的角给出其相应的正弦、余弦、正切、余切的定义，学习使用三角恒等变换化简三角表达式，进一步探讨三角形中边与角之间的定量关系，从而有效地解决有关的实际问题，并为下章学习三角函数的性质以及学习解析几何、立体几何等后续章节奠定基础； 【本章教材目录】 第6章 三角 6.1 正弦、余弦、正切、余切：6.1.1锐角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4诱导公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角； 6.2 常用三角公式：6.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角变换的应用； 6.3 解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理； 【本章内容提要】 1、正弦、余弦、正切、余切 弧度制：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做弧度的角.用“弧度”作为单位来度量角的单位制称为弧度制； 扇形弧长与面积：记扇形的半径为，圆心角为弧度，弧长为，面积为，则有，； 单位圆：单位圆泛指半径为个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以原点为圆心、以为半径的圆为单位圆； 正弦、余弦、正切及余切的定义：在平面直角坐标系中，将角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，在角的终边上任取异于原点的一点，就有 ，，（），（）； 同角三角公式：，，，； 诱导公式：（），，，； 诱导公式，其规律为口诀：奇变偶不变，符号看象限. 2、常用三角公式 和角与差角公式：，， ； 倍角公式： ， ， ； 3、解三角形 正弦定理：； 余弦定理：，，； 三角形面积公式：； 【要点方法解读】 解读点029 利用二倍角公式给值求值 【典例】 1、求下列各式的值： （1）coscoscos； （2）cos415°－sin415°； 【说明】对于给角求值问题，一般有两类： 1、直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角. 2、若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 2、　已知cos＝，≤α＜，求: （1）cos的值；（2）sin 4α的值； 【说明】解决条件求值问题的方法： 1、有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系. 2、当遇到这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通： cos 2x＝ 类似的变换还有： cos 2x＝， 解读点030 利用二倍角公式给值求角 【典例】 1、已知α∈，且sin 2α＝sin，求α. 2、已知0<α<，0<β<，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan ＝1－tan2，求：α＋β的值 【说明】1、给值求角问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法； 2、给值求角问题的一般步骤： ①化简条件式子或待求式子； ②观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手； ③将已知条件代入所求式子，化简求值； ④根据题设角的范围，确定角； 解读点031 利用二倍角公式化简与证明 【典例】 1、（1）若α∈，tan 2α＝，则tan α等于(　　) A． B． C． D． （2）化简：＋＝________. 2、求证：（1）cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B； （2）cos2θ(1－tan2θ)＝cos 2θ； 【说明】1、解答化简证明问题时，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情况，通常要要切化弦后再进行变形； 2、证明三角恒等式时，通常的证明方向是：由复杂一侧向简单一侧推导． 3、证明三角恒等式的原则与步骤 （1）观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想； （2）证明恒等式的一般步骤： ①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”