2第6章《三角》教材解读【任意角的度量与弧度制】讲义-2023-2024学年高一数学沪教版（2020）必修第二册

【原卷版】 任意角的度量与弧度制 【沪教版2020】数学 必修 第二册 教材解读 在平面几何中我们已经知道，在一个三角形中，大角对大边，但这只是一个关于边与角之间关系的定性性质；为了定量地刻画三角形的边与角之间的关系，为测量、航海及天文等方面的实际应用提供依据，需要引入一个角的正弦、余弦、正切、余切等概念，建立三角学的基本理论；在初中，当一个角为锐角时， 已经对有关的概念及结论做了初步的讨论，并介绍了求解直角三角形的方法及其应用；本章将拓展角的概念，并对一个任意给定的角给出其相应的正弦、余弦、正切、余切的定义，学习使用三角恒等变换化简三角表达式，进一步探讨三角形中边与角之间的定量关系，从而有效地解决有关的实际问题，并为下章学习三角函数的性质以及学习解析几何、立体几何等后续章节奠定基础； 【本章教材目录】 第6章 三角 6.1 正弦、余弦、正切、余切：6.1.1锐角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4诱导公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角； 6.2 常用三角公式：6.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角变换的应用； 6.3 解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理； 【本章内容提要】 1、正弦、余弦、正切、余切 弧度制：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做弧度的角.用“弧度”作为单位来度量角的单位制称为弧度制； 扇形弧长与面积：记扇形的半径为，圆心角为弧度，弧长为，面积为，则有，； 单位圆：单位圆泛指半径为个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以原点为圆心、以为半径的圆为单位圆； 正弦、余弦、正切及余切的定义：在平面直角坐标系中，将角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，在角的终边上任取异于原点的一点，就有 ，，（），（）； 同角三角公式：，，，； 诱导公式：（），，，； 诱导公式，其规律为口诀：奇变偶不变，符号看象限. 2、常用三角公式 和角与差角公式：，， ； 倍角公式： ， ， ； 3、解三角形 正弦定理：； 余弦定理：，，； 三角形面积公式：； 【要点方法解读】 解读点008 角度与弧度的互化 1、度量角的单位制 （1）角度制：用度作单位来度量角的制度叫做角度制，规定1度的角等于周角的；60分等于1度，60秒等于1分； （2）弧度制 ①弧度制的定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度； 以弧度作为单位来度量角的制度叫做弧度制； ②任意角的弧度数与实数的对应关系：正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是0； ③角的弧度数的计算：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝. 2、角度制与弧度制的换算 （1） 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad ＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017_45 rad 1 rad＝°≈57.30° （2）一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧 度 0 π π π π π 2π 【典例】 1、在半径不等的两圆内，1弧度的圆心角(　　) A．所对的弧长相等 B．所对的弦长相等 C．所对的弧长等于各自的半径 D．所对的弦长等于各自的半径 【答案】C； 【解析】根据弧度制的规定，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即选C； 2、设α1＝510°，α2＝－750°，β1＝，β2＝－. （1）将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限； （2）将β1，β2用角度表示出来，并在－360°～360°范围内找出与它们终边相同的所有的角． 【解析】（1）∵1°＝ rad， ∴α1＝510°＝510×＝π，α2＝－750°＝－750×＝－π. ∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第四象限． （2）β1＝＝×＝144°；设θ1＝k·360°＋144°(k∈Z)． ∵－360°≤θ1＜360°，∴－360°≤k·360°＋144°＜360°； ∴k＝－1或k＝0；∴在－360°～360°范围内与β1终边相同的角是－216°. β2＝－＝－×＝－330°； 设θ2＝k·360°－330°(k∈Z)， ∵－360°≤θ2＜360°，∴－360°≤k·360°－330°＜360°， ∴k＝0或k＝1，∴在－360°～360°范围内与β2终边相同的角是30°； 【说明