1 第6章《三角》教材解读【角的概念的推广及其相关表示】讲义-2023-2024学年高一数学沪教版（2020）必修第二册

【原卷版】 角的概念的推广及其相关表示 【沪教版2020】数学 必修 第二册 第6章《三角》教材解读 在平面几何中我们已经知道，在一个三角形中，大角对大边，但这只是一个关于边与角之间关系的定性性质；为了定量地刻画三角形的边与角之间的关系，为测量、航海及天文等方面的实际应用提供依据，需要引入一个角的正弦、余弦、正切、余切等概念，建立三角学的基本理论；在初中，当一个角为锐角时， 已经对有关的概念及结论做了初步的讨论，并介绍了求解直角三角形的方法及其应用；本章将拓展角的概念，并对一个任意给定的角给出其相应的正弦、余弦、正切、余切的定义，学习使用三角恒等变换化简三角表达式，进一步探讨三角形中边与角之间的定量关系，从而有效地解决有关的实际问题，并为下章学习三角函数的性质以及学习解析几何、立体几何等后续章节奠定基础； 【本章教材目录】 第6章 三角 6.1 正弦、余弦、正切、余切：6.1.1锐角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4诱导公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角； 6.2 常用三角公式：6.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角变换的应用； 6.3 解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理； 【本章内容提要】 1、正弦、余弦、正切、余切 弧度制：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做弧度的角.用“弧度”作为单位来度量角的单位制称为弧度制； 扇形弧长与面积：记扇形的半径为，圆心角为弧度，弧长为，面积为，则有，； 单位圆：单位圆泛指半径为个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以原点为圆心、以为半径的圆为单位圆； 正弦、余弦、正切及余切的定义：在平面直角坐标系中，将角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，在角的终边上任取异于原点的一点，就有 ，，（），（）； 同角三角公式：，，，； 诱导公式：（），，，； 诱导公式，其规律为口诀：奇变偶不变，符号看象限. 2、常用三角公式 和角与差角公式：，， ； 倍角公式： ， ， ； 3、解三角形 正弦定理：； 余弦定理：，，； 三角形面积公式：； 【要点方法解读】 解读点001 锐角的正弦、余弦、正切、余切 锐角A的正弦，余弦，正切，余切： 在Rt△ABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA===; 在Rt△ABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA===; 在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA===; 在Rt△ABC中，锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即cotA===; 锐角A的正弦、余弦、正切与余切都叫做锐角A的三角比值； 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边， ∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边； 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即； 锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即； 【典例】 1、在中，，分别是的对边，则有（ ） A． B． C． D． 【提示】； 【答案】； 【解析】； 2、在中，斜边的长为，，则直角边的长是（ ） A． B． C． D． 【提示】； 【答案】； 【解析】A； 【说明】对于直角三角形前提下的锐角三角比值，求解直角三角形，熟练锐角三角比指的定义，是求解该题的关键； 解读点002 角的概念之推广 1、角的概念 ①角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形； ②角的表示：如图∠AOB中，O表示顶点，OA表示始边，OB表示终边； 为简单起见，在不引起混淆的前提下， “角α”或“∠α”可简记作“α”； 2、在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向：顺时针方向和逆时针方向，习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角； 旋转生成的角，又常叫做转角；引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α－β可以化为α＋(－β)，这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和； 【典例】 1、下列说法正确的是（ ） A．最大角是180° B．最大角是360° C．角不可以是负的 D．角可以任意大小 【考点】任意角的定义； 2、从13：00到1