专题07 数列-【中职专用】2024年中职高考数学二轮复习专项突破（全国通用）

专题07 数列 知识建构 自检自测 一. 数列的有关概念 1．数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数．数列中的每一个数都叫这个数列的项 (2)数列的分类： (1)按项数分类：项数有限的数列叫做__有穷数列__，项数无限的数列叫做__无穷数列__． (2)按数列的每一项随序号的变化情况进行分类： 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做__递增数列__．即an＋1>an(n＝1,2,3…)． 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做__递减数列__．即an＋1<an(n＝1,2,3…)．各项相等的数列叫做常数列． 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做__摆动数列__． (3)数列的通项公式：数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与项数n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做数列的__通项公式__． 2. 如果已知数列{an}的首项，且任一项an与它的前一项an–1间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式． 3．数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数 4.数列{an}的前 n 项和Sn＝a1 + a2 + a3 + ⋯ + an 5. an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn， 则an＝ 一般步骤 (1)当n＝1时，由a1＝S1，求a1的值． (2)当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式． (3)检验a1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示an. (4)写出an的完整表达式． 二、等差数列 1.等差数列的定义式：an − an–1 = d (n ≥ 2) 2．等差数列的通项公式：an = a1 + (n − 1)d 3.等差数列的前 n 项和： Sn＝_na1＋d__＝___. 4. 如果a，A，b成等差数列， 那么_A__叫做a与b的等差中项且_A＝__. 5.等差数列的性质 （1）若m + n = p + q，则am + an = ap + aq特别地，若m + n = 2p，则am + an = 2ap （2）在等差数列{an}中，Sm, S2m − Sm, S3m − S2m, S4m − S3m …成等差数列.(片段和成等差) 6.方程的思想： 对于等差数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程求出 a1，d.，如果再给出第三个条件就可以完成an，a1，d，n，Sn的“知三求二”问题．这体现了用方程的思想解决问题． 7.三个数成等差数列，则设这三个数为：x − d, x, x + d 8.函数的观点看等差数列 （1）若数列{an}的通项公式为n 的一次函数，即an = kn + b(k,b 是常数)，则{an}是等差数列．公差 d = A （2）若数列{an}的前n项和Sn是Sn= An2 + Bn的形式(A，B是常数)，则{an}为等差数列． 公差d =A (3) 在等差数列{an}中,若d > 0,则数列{an}是递增数列，若d < 0,则数列{an}是递减数列， （4）在等差数列{an}中，a1 > 0, d < 0，则Sn存在最大值；若a1 < 0, d > 0，则Sn存在最小值． 9．求等差数列前 n 项和Sn最值的方法 函数法：利用等差数列前 n 项和的函数表达式Sn = An2 + Bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． 三、等比数列 1. 等比数列的定义式：＝q__(n∈N*，q为非零常数)．即从第二项开始每一项与它的前一项的比都等于同一个常数 2. 等比数列的通项公式：an = a1. qn–1 3. 等比数列的前 n 项和公式：Sn＝ 4. 如果a，G，b成等比数列，那么_G__叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝_ab__. 5. 等比数列的性质 (1)在等比数列{an}中，若m + n = p + q,则am. an = ap. Aq，特别地，若m + n = 2k,则am. an = (ak)2 (2)在等比数列{an}中,Sm, S2m − Sm, S3m − S2m, S4m − S3m, …仍成等比数列. (q ≠ −1) 6.函数的观点看等比数列： (1)若数列{an}的通项公式是关于 n 的指数型函数，即an = c. qn,则{an}是等比数列，底数 q 是公比 (2)若数列{an}的前 n 项和Sn = Aqn + B,且 A+B=0, 则{an}是等比数列．底数 q 是公比 (3)若a1 > 0，q > 1, 等比数列{an}是递增数列，若a1 > 0，0 < q < 1, 等比数列{an}是递减数列若q < 0, 等比数列{