三线合一在解几中的应用讲义-2024届高三数学一轮复习

三线合一的顶级作用 空间立体几何八大垂直中的第一个模型就是等腰三角形的三线合一，见到等腰连中线，见到长度相等想等腰，构造等腰三角形，再取中线即可。那在解析几何中的地位又如何呢？超然也是排在了重要地位之上，解析几何也就是解析（坐标运算）+几何（平面几何），明显的发现三线合一要体现出来，但是试题中往往不会直接给出的，需要自己去构造、去联想，从而用上，再去求解。下面以两道模拟题目为例说明： 例1（2020·湖南长沙·长郡中学校考二模改编）已知，分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，且在轴的左侧，过点作的角平分线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则 ， . 试题分析：题目中没有图像，首先做出图像来，发现角平分线+垂线，这就是明显的三线合一，从而需要延长交于点Q，结合原点为的天然中点，就根据中位线得到的长，则后续问题就是考查椭圆的定义问题。 解析如图，延长，相交于点， 由题意知：，且平分，，为的中点， 为的中点，，. 由椭圆定义知：，，， 又，，， . 故答案为：；. 变式1：已知，分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，且在轴的左侧过点作的角平分线的垂线，垂足为，若（为坐标原点）则等于（    ） A．4 B．2 C． D． 解析：延长交的延长线于点,作图如下： 因为为的角平分线，且， 所以， 所以， 因为分别为的中点， 所以为的中位线， 所以， 所以. 故选：A 2．已知O为坐标原点，双曲线C：的左右焦点分别为，，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则b＝（    ） A． B． C．1 D．2 【解析】设半焦距为，延长交于点，连接，    由于是的平分线，， 所以是等腰三角形，所以，且是的中点. 根据双曲线的定义可知，即， 由于是的中点，所以是的中位线， 所以， 又双曲线的离心率为，故，所以， 所以. 故选：C. 3．（2022上·河南新乡·高三统考期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点P在该双曲线的右支上，且，过点作的角平分线的垂线，垂足为A．若，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解析】如图，延长并交于点B，由平分，且，可得， 由，可得． 又，，所以，故，， 在中，， 整理得，即，解得， 即该双曲线的离心率为． 故选：C 4．（原创题）已知O为坐标原点，双曲线C：的左右焦点分别为，，直线与C的右支交于一点P，过作的平分线的垂线，垂足是M，则（    ） A． B． C． D． 【解析】延长交于点，连接，    由于是的平分线，， 所以是等腰三角形，所以，且是的中点. 根据双曲线的定义可知，即， 由于是的中点，所以是的中位线， 所以， 又直线过双曲线C的左焦点， 故,可知， 在中， 所以. 故选：C. 例2 (2022·湖南雅礼中学二模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若C与直线y=x有交点,且双曲线上存在不是顶点的P,使得∠PF2F1=3∠PF1F2,则双曲线离心率的取值范围为　　　　　.  试题分析：本题难点∠PF2F1=3∠PF1F2，如何去处理联想到初中的内容构造等角方法，这是23年上半年给思宇讲题时想出来的方法，如何出现等角，就是结合等腰三角形的低角相等，从而构造等腰三角形，做大角还是小角的等角，正常应该造小角的等角，从而作线段的中垂线，也就是y轴，从而题目立刻变成了两个等角的问题，从而结合定义，答案立得. 解析：双曲线C与直线y=x有交点,则>1,>1,解得e=. 双曲线上存在不是顶点的P,使得∠PF2F1=3∠PF1F2,则点P在右支上. 设PF1与y轴交于点Q,由对称性|QF1|=|QF2|,所以∠QF1F2=∠QF2F1,所以∠PF2Q=∠PF2F1-∠QF2F1=2∠PF1F2=∠PQF2,所以|PQ|=|PF2|, 所以|PF1|-|PF2|=|PF1|-|PQ|=|QF1|=2a. 由|QF1|>|OF1|得2a>c,所以e=<2. 又在△PF1F2中,∠PF1F2+∠PF2F1=4∠PF1F2<180°,∠PF1F2<45°, 所以=cos∠PF1F2>,即e=.综上,<e<2. 解题后的野路子猜题收获：两道题目都是特殊的情况，例1是最后一个直角三角形，例2中e的范围为<e<2，正常也可以猜得右侧为2，当然这只是一种猜测，也可以不正确，一个可能的答案方式. 变式：已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点，满足且，求的值． 【解析】椭圆C：的顶点，，如图，    由整理得，则，即， 设直线PA，PB的斜率分别为，，则，于是有， 设，则，，即有， 则，，解得， 则，而，解得， 在中，由正弦定理得， 所以． 反思：改题与前面的例题看着及其相似，也