空间向量与立体几何专题复习学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

空间向量与立体几何专题复习 【学习内容】掌握空间向量与立体几何相关知识，并会利用向量法解决立体几何问题 【学习目标】 1.会复述空间向量的运算，会进行简单的向量运算. 2.会利用空间向量证明立体几何中的位置关系. 3.会利用空间向量计算空间距离. 4.会利用空间向量计算空间角. 【学习过程】 一、空间向量的概念及运算 例1-1　 (1)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则x＝________，y＝________. 例1-2已知，，是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（　　） A．2，﹣，+2 B．2，﹣，+2 C．，2，﹣ D．，+，﹣ 例1-3(多选)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.下列选项中，正确的是(　　) A.＋＋＋＝0 B.＋－－＝0 C.－＋－＝0 D.·＝· 练习运用1图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则等于（    ） A. B． C．- D． 二、利用空间向量证明位置关系 例2-1 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4. (1)求证：AC⊥BC1；(2)请说明在AB上是否存在点E，使得AC1∥平面CEB1. 例2-2 如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点。（1）求证：平面；（2）若线段上总存在一点，使得，求的最大值 例2-3如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明： (1)PA⊥BD；(2)平面PAD⊥平面PAB. 练习运用2如图，AC，DF分别为正方形ABCD和正方形CDEF的对角线，M，N分别是线段AC，DF上的点，且AM=MC、DN=NF。（1）证明：MN∥平面BCF；（2）证明：MN⊥DC. 三、利用空间向量计算距离 例3-1已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若点P满足 ＝＋＋ ，则点P到直线AB的距离为(　　) A. B. C. D. 例3-2在三棱锥B－ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离． 四、利用空间向量计算夹角 例4-1如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M为B1C1上一点且B1M＝2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN. (1)求cos〈，〉；(2)求直线AD与平面ANM所成角的正弦值； (3)求平面ANM与平面ABCD夹角的余弦值. 例4-2如图，在多面体ABCDEF中，平面平面ABCD，，，，． （1）求证：； （2）若四边形ACEF为矩形，且，求直线DF与平面DCE所成角的正弦值； （3）若四边形ACEF为正方形，在线段AF上是否存在点P，使得二面角的余弦值为？若存在，请求出线段AP的长；若不存在，请说明理由． 练习运用3四棱锥中，底面是矩形，平面，，．以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点． （1）求证：平面⊥平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $$