第12讲 正态分布-【寒假预科讲义】2024年高二数学寒假精品课（人教A版2019）

第12讲 正态分布 【人教A版2019】 ·模块一 正态分布 ·模块二 课后作业 模块一 正态分布 1．连续型随机变量 随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量. 2．正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)=，x∈R.其中∈R，>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正 态密度曲线，简称正态曲线. (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(,).特别地， 当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布. (3)正态分布的均值和方差 若XN(,)，则E(X)=，D(X)=. 3．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=对称； (3)曲线在x=处达到峰值； (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (5)对任意的>0，曲线与x轴围成的面积总为1； (6)在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示； (7)当取定值时，正态曲线的形状由确定，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分 布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示. 4．3原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(-X+)0.6827； P(-2X+2)0.9545； P(-3X+3)0.9973. (2)3原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(,)的随机变量X只取[-3，+3]中的值，这在统计学 中称为3原则. 【考点1 正态曲线的特点】 【例1.1】（2023·高二单元测试）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【例1.2】（2023·浙江宁波·统考二模）设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023·全国·高三专题练习）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023下·高二课时练习）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点2  利用正态曲线的对称性求概率】 【例2.1】（2023下·辽宁沈阳·高二校联考期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023下·山东济宁·高二校考期中）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2023下·河南驻马店·高二校考阶段练习）在某项测量中，测得变量,若在内取值的概率为0.8，则在内取值的概率为（    ） A．0.2 B．0.1 C．0.8 D．0.4 【变式2.2】（2023下·河北张家口·高二校考阶段练习）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B．0 C．2 D．6 【考点3  利用3原则求概率】 【例3.1】（2023下·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）据统计2023年“五一”假期哈尔滨太阳岛每天接待的游客人数X服从正态分布，则在此期间的某一天，太阳岛接待的人数不少于1800的概率为（    ） 附：，，， A．0.4987 B．0.8413 C．0.9773 D．0.9987 【例3.2】（2023下·河南安阳·高二统考期末）已知随机变量，且，则（    ） 附：若，则，. A．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3413 【变式3.1】（2023·山东枣庄·统考二模）某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（    ） 参考数据：，，． A．455 B．2718 C．6346 D．9545 【变式3.2】（2023下·河北·高二校联考阶段练习）某质检员从某生产线生产的零件中随机抽取了一部分零件进行质量检测，根据检测结果发现这批零件的某一质量指数服从正态分布，且落在内的零件个数为81860，则可估计所抽取的零件中质量指数小于44的个数为（    ） （附：若随机变量服从正态分布，则，，） A．270 B．2275 C．2410 D．4550 【考点4  标准正态分布的应用】 【例4.1】（2023·高二课时练习）高铁是当代中国重要的一类交通基础设施，乘坐高铁已经成为人们喜爱的一种出行方式，已知某市市郊乘车前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，